Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于， 兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

（）求拋物線的解析式．

（）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

（）點(diǎn)在直線上方的拋物線上，是否存在點(diǎn)使的面積最大，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（）（） 或（）存在， ．

【解析】試題分析：（1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值；

（2）根據(jù)（1）得到的函數(shù)解析式，可求出D、C的坐標(biāo)；易證得△OBC是等腰Rt△，若過A作BC的垂線，設(shè)垂足為E，在Rt△ABE中，根據(jù)∠ABE的度數(shù)及AB的長即可求出AE、BE、CE的長；連接AC，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為F，若∠APD=∠ACB，那么△AEC與△AFP，根據(jù)得到的比例線段，即可求出PF的長，也就求得了P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)Q到直線BC的距離最遠(yuǎn)時(shí)，△QBC的面積最大（因?yàn)?/span>BC是定長），可過Q作y軸的平行線，交BC于S；根據(jù)B、C的坐標(biāo)，易求出直線BC的解析式，可設(shè)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線和直線BC的解析式，分別表示出Q、S的縱坐標(biāo)，即可得到關(guān)于QS的長以及Q點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，以QS為底，B、C橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值為高可得到△QBC的面積，由于B、C橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值為定值，那么QS最長時(shí)，△QBC的面積最大，此時(shí)Q離BC的距離最遠(yuǎn)；可根據(jù)上面得到的函數(shù)的性質(zhì)求出QS的最大值及對(duì)應(yīng)的Q點(diǎn)橫坐標(biāo)，然后將其代入拋物線的解析式中，即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

試題解析：解：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（﹣3，0），∴，

解得： ，∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣4x﹣3；

（2）由y=﹣x2﹣4x﹣3，可得D（﹣2，1），C（0，﹣3），∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2，可得△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC=45°，CB=，如圖，設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)F，∴AF=AB=1，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，∴∠AEB=90°，可得BE=AE= ，CE=，在△AEC與△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，∴△AEC∽△AFP，∴， ，解得PF=2，∵點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）；

（3）存在，因?yàn)?/span>BC為定值，當(dāng)點(diǎn)Q到直線BC的距離最遠(yuǎn)時(shí)，△BCQ的面積最大，設(shè)直線BC的解析式y=kx+b，直線BC經(jīng)過B（﹣3，0），C（0，﹣3），∴，

解得：k=﹣1，b=﹣3，∴直線BC的解析式y=﹣x﹣3，設(shè)點(diǎn)Q（m，n），過點(diǎn)Q作QH⊥BC于H，并過點(diǎn)Q作QS∥y軸交直線BC于點(diǎn)S，則S點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣m﹣3），∴QS=n﹣（﹣m﹣3）=n+m+3，∵點(diǎn)Q（m，n）在拋物線y=﹣x2﹣4x﹣3上，∴n=﹣m2﹣4m﹣3，∴QS=﹣m2﹣4m﹣3+m+3=﹣m2﹣3m=﹣（m+）2+，當(dāng)m=﹣時(shí)，QS有最大值，∵BO=OC，∠BOC=90°，∴∠OCB=45°．

∵QS∥y軸，∴∠QSH=45°，∴△QHS是等腰直角三角形，∴當(dāng)斜邊QS最大時(shí)QH最大，∵當(dāng)m=﹣時(shí)，QS最大，∴此時(shí)n=﹣m2﹣4m﹣3=﹣+6﹣3=，∴Q（﹣， ），∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣， ）時(shí)，△BCQ的面積最大．