Question

已知平面直角坐標系內(nèi)，一次函數(shù)y=kx+2的圖象與x軸相交于點A(-2

3

，0)，與y軸相交于點B．
（1）求一次函數(shù)的解析式，并在直角坐標系中畫出它的圖象；
（2）若以原點O為圓心的⊙O與直線AB相切于點C，求⊙O的半徑和點C的坐標；
（3）在x軸上是否存在點P，使△PAB為等腰三角形？若存在，請寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件把點A(-2

3

，0)代入y=kx+2，解出k的值，即可求出解析式．
（2）先過點O作OC⊥AB，得出它與y軸的交點坐標，再根據(jù)正切定義，得出∠OAB的度數(shù)，再根據(jù)在直角△CAB中，OC、OA的值，即可求出⊙O的半徑，再過點C作CD⊥OA于D，得出CD、OD的值，最后得出點C的坐標．
（3）本題需先判斷出P的存在，再根據(jù)題意得出AB的值，再以A、B為頂角的頂點和以AB為腰時，分別求出P點的坐標．

解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=kx+2的圖象與x軸相交于A，
∴把點A(-2

3

，0)代入y=kx+2得：
-2

3

k+2=0，
k=

3

3

，
∴一次函數(shù)的解析式：y=

3

3

x+2；

（2）過點O作OC⊥AB于C，
∵一次函數(shù)的解析式：y=

3

3

x+2，
∴它與y軸的交點坐標為（0，2），
∴OA=2

3

，OB=2，
∴tan∠OAB=

3

3

∴∠OAB=30°
∴在Rt△CAB中，OC=

1

2

OA=

3

，
∴⊙O的半徑為

3

，
過點C作CD⊥OA于D，
∴CD=

3

2

，OD=

3

2

，
∴點C的坐標為（-

3

2

，

3

2

）

（3）在x軸上存在點P，使△PAB為等腰三角形，
由題意得，AB=4
當(dāng)以A為頂角的頂點時，P（-4-2

3

，0），
當(dāng)以B為頂角的頂點時，P（2

3

，0），
當(dāng)以AB為腰時，P（-

2 3

3

，0）

點評：本題主要考查了一次函數(shù)的綜合，在解題時要注意知識的綜合應(yīng)用以及各點的求法是本題的關(guān)鍵．