Question

如圖，拋物線y=

1

2

x²+bx-2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（-1，0）．
（1）求b的值以及點(diǎn)B，C，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若以AB為直徑作圓，試證明點(diǎn)C在該圓上，并寫(xiě)出該圓與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)E坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M（m，0）是線段OB（含兩端點(diǎn)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)m為何值時(shí)，CM+DM有最小值和最大值？

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式計(jì)算求出b的值，然后令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，令x=0求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再把拋物線解析式整理成頂點(diǎn)式形式，然后寫(xiě)出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求出OA、OB、OC的長(zhǎng)，然后根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例夾角相等，兩三角形相似求出△AOC和△COB相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACO=∠OBC，從而求出∠ACB=90°，再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得點(diǎn)C在圓上，根據(jù)圓的對(duì)稱性可得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等，然后利用拋物線解析式求解即可；
（3）根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，找出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′D與x軸的交點(diǎn)即為CM+DM有最小值時(shí)的點(diǎn)M，然后利用待定系數(shù)法求出C′D的函數(shù)解析式，令y=0，計(jì)算即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，點(diǎn)M與B重合時(shí)，CM+DM的值最大．

解答：解：（1）將A（-1，0）代入拋物線y=

1

2

x²+bx-2得，

1

2

×（-1）²+b×（-1）-2=0，
解得b=-

3

2

，
所以，拋物線y=

1

2

x²-

3

2

x-2，
令y=0，則

1

2

x²-

3

2

x-2=0，
整理得，x²-3x-4=0，
解得x₁=-1，x₂=4，
所以，點(diǎn)B（4，0），
令x=0，則y=-2，
所以，點(diǎn)C（0，-2），
∵y=

1

2

x²-

3

2

x-2=

1

2

（x-

3

2

）²-

25

8

，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

3

2

，-

25

8

）；

（2）∵A（-1，0），B（4，0），C（0，-2），
∴OA=1，OB=4，OC=2，
∵

OA

OC

=

OC

OB

=

1

2

，∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO=∠OBC，
∵∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
即∠ACB=90°，
∴點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，
由圓的對(duì)稱性，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相同，為-2，

1

2

x²-

3

2

x-2=-2，
整理得，x²-3x=0，
解得x₁=0，x₂=3，
所以，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，-2）；

（3）如圖，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′（0，2），連接C′D與x軸的交點(diǎn)即為CM+DM有最小值時(shí)的點(diǎn)M，
設(shè)直線C′D的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

b=2 3 2 k+b=- 25 8

，
解得

k=- 41 12 b=2

，
∴直線C′D的解析式為y=-

41

12

x+2，
令y=0，則-

41

12

x+2=0，
解得x=

24

41

，
∴CM+DM有最小值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

24

41

，0），
此時(shí)，m=

24

41

，
當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)，即M（4，0）時(shí)CM+DM有最大值，
此時(shí)m=4．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的求解，相似三角形的判定與性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，利用軸對(duì)稱確定最短路徑問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，但難度不是很大．