Question

【題目】將正方形的邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至 ，記旋轉(zhuǎn)角為．連接，過點作垂直于直線，垂足為點，連接，

如圖1，當時，的形狀為 ，連接，可求出的值為 ；

當且時，

①中的兩個結(jié)論是否仍然成立?如果成立，請僅就圖2的情形進行證明；如果不成立，請說明理由；

②當以點為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）等腰直角三角形，；（2）①結(jié)論不變，理由見解析；②3或1．

【解析】

（1）根據(jù)題意，證明是等邊三角形，得，計算出，根據(jù)，可得為等腰直角三角形；證明，可得的值；

（2）①連接BD，通過正方形性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)，表示出，結(jié)合，可得為等腰直角三角形；證明，可得的值；

②分為以CD為邊和CD為對角線兩種情況進行討論即可．

（1）由題知°，°，

∴°，且為等邊三角形

∴°，

∴

∵

∴°

∴°

∴為等腰直角三角形

連接BD，如圖所示

∵°

∴即

∵

∴

∴

故答案為：等腰直角三角形，

（2）①兩個結(jié)論仍然成立

連接BD，如圖所示：

∵，

∴

∵

∴

∴

∵

∴

∴是等腰直角三角形

∴

∵四邊形為正方形

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∴結(jié)論不變，依然成立

②若以點為頂點的四邊形是平行四邊形時，分兩種情況討論

第一種：以CD為邊時，則，此時點在線段BA的延長線上，

如圖所示：

此時點E與點A重合，

∴，得；

②當以CD為對角線時，如圖所示：

此時點F為CD中點，

∵

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∴

綜上：的值為3或1．