Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+a+2(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(x1，0)，點(diǎn)B(x2，0)，(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，拋物線的對稱軸為直線x=-1．

(1)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3，0)，求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)C是第三象限的點(diǎn)，且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-2，若拋物線恰好經(jīng)過點(diǎn)C，直接寫出x2的取值范圍；

(3)拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P在拋物線上，且∠DOP=45°，若拋物線上滿足條件的點(diǎn)P恰有4個(gè)，結(jié)合圖象，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），（1，0）；（2）-1＜x2＜0；（3）a＜-2．

【解析】

（1）由題意可知拋物線的對稱軸為，求出b=2a，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式，即可求解；

（2）根據(jù)題意可得點(diǎn)C在第三象限，即點(diǎn)A在點(diǎn)C和函數(shù)對稱軸之間，故-2＜x1＜-1，繼而進(jìn)行分析即可求解；

（3）根據(jù)題意可得滿足條件的P在x軸的上方有2個(gè)，在x軸的下方也有2個(gè)，則拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方，即可求解．

解：（1）拋物線的對稱軸為，解得：b=2a，

故y=ax2+bx+a+2=a（x+1）2+2，

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式并解得：，

故拋物線的表達(dá)式為：；

令y=0，即，解得：x=-3或1，

故點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（1，0）.

（2）由（1）知：，

點(diǎn)C在第三象限，即點(diǎn)C在點(diǎn)A的下方，

即點(diǎn)A在點(diǎn)C和函數(shù)對稱軸之間，故-2＜x1＜-1，

而，即x2=-2-x1，

故-1＜x2＜0.

（3）∵拋物線的頂點(diǎn)為（-1，2），

∴點(diǎn)D（-1，0），

∵∠DOP=45°，若拋物線上滿足條件的點(diǎn)P恰有4個(gè)，

∴拋物線與x軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，如下圖，

∴滿足條件的P在x軸的上方有2個(gè)，在x軸的下方也有2個(gè)，

則拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方，

當(dāng)x=0時(shí)，，

解得：a＜-2，

故a的取值范圍為：a＜-2．