Question

8．如圖所示，矩形ABCD中，AB=6，AD=3，點(diǎn)O在邊DC上，且DO=4，點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)P沿OA以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q沿O→C→B→A的路線以2cm/s的速度移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q也停止移動(dòng)．
（1）求sin∠AOD的值；
（2）設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)時(shí)間為t（s），P，Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路線與線段PQ圍成的圖形面積為S．
①當(dāng)t=1s時(shí)，點(diǎn)Q到達(dá)C點(diǎn)．
②求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)得出∠D=∠C=∠B=90°，CD=AB=6，BC=AD=3，得出DO=3，由勾股定理求出OA=5，由三角函數(shù)定義即可得出結(jié)果；
（2）①求出OC=CD-DO=2，即可得出t的值；
②分三種情況：當(dāng)0≤t≤1時(shí)，作PM⊥CD于M，則PM=$\frac{3}{5}$t，OQ=2t，S=△OPQ的面積，即可得出答案；
當(dāng)1＜t≤2.5時(shí)，作PM⊥CD于M，則PM=$\frac{3}{5}$t，OM=$\frac{4}{5}$t，CQ=2t-2，S=梯形CQPM的面積-△OPM的面積，即可得出答案；
當(dāng)2.5＜t≤5時(shí)，作PN⊥AB于N，則BQ=2t-5，PN=3-$\frac{3}{5}$t，AQ=AB-BQ=11-2t，S=梯形ABCO的面積-△APQ的面積，即可得出答案．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠C=∠B=90°，CD=AB=6，BC=AD=3，
∵DO=3，
∴OA=$\sqrt{A{D}^{2}+D{O}^{2}}$=5，
∴sin∠AOD=$\frac{AD}{OA}$=$\frac{3}{5}$；
（2）①∵OC=CD-DO=2，點(diǎn)Q沿O→C→B→A的路線以2cm/s的速度移動(dòng)，
∴t=2÷2=1（s），
即t=1s時(shí)，點(diǎn)Q到達(dá)C點(diǎn)；
故答案為：1；
②當(dāng)0≤t≤1時(shí)，如圖1所示：
作PM⊥CD于M，則PM=$\frac{3}{5}$t，OQ=2t，
∴S=△OPQ的面積=$\frac{1}{2}$•2t•$\frac{3}{5}$t=$\frac{3}{5}$t²；
當(dāng)1＜t≤2.5時(shí)，如圖2所示：
作PM⊥CD于M，則PM=$\frac{3}{5}$t，OM=$\frac{4}{5}$t，CQ=2t-2，
S=梯形CQPM的面積-△OPM的面積=$\frac{1}{2}$（2t-2+$\frac{3}{5}$t）（$\frac{4}{5}$t+2）-$\frac{1}{2}$•$\frac{4}{5}$t•$\frac{3}{5}$t=$\frac{4}{5}$t²+$\frac{9}{5}$t-2；
當(dāng)2.5＜t≤5時(shí)，如圖3所示：
作PN⊥AB于N，則BQ=2t-5，PN=3-$\frac{3}{5}$t，AQ=AB-BQ=11-2t，
∴S=梯形ABCO的面積-△APQ的面積=$\frac{1}{2}$（2+6）×3-$\frac{1}{2}$（11-2t）（3-$\frac{3}{5}$t）=-$\frac{3}{5}$t²+$\frac{63}{10}$t-$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、三角形面積以及梯形面積的計(jì)算；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，進(jìn)行分類討論是解決問(wèn)題（2）的關(guān)鍵．