Question

（2012•廣安）如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC于點M、N，點P在AB的延長線上，且∠CAB=2∠BCP．
（1）求證：直線CP是⊙O的切線．
（2）若BC=2

5

，sin∠BCP=

5

5

，求點B到AC的距離．
（3）在第（2）的條件下，求△ACP的周長．

Answer 1

分析：（1））根據∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，得到2∠BCP+2∠BCA=180°，從而得到∠BCP+∠BCA=90°，證得直線CP是⊙O的切線．
（2）作BD⊥AC于點D，得到BD∥PC，從而利用sin∠BCP=sin∠DBC=

DC

BC

=

DC

2 5

=

5

5

，求得DC=2，再根據勾股定理求得點B到AC的距離為4．
（3）先求出AC的長度，然后利用BD∥PC的比例線段關系求得CP的長度，再由勾股定理求出AP的長度，從而求得△ACP的周長．

解答：解：（1）∵∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°
∴2∠BCP+2∠BCA=180°，
∴∠BCP+∠BCA=90°，
∴直線CP是⊙O的切線．

（2）如右圖，作BD⊥AC于點D，
∵PC⊥AC
∴BD∥PC
∴∠PCB=∠DBC
∵BC=2

5

，sin∠BCP=

5

5

，
∴sin∠BCP=sin∠DBC=

DC

BC

=

DC

2 5

=

5

5

，
解得：DC=2，
∴由勾股定理得：BD=4，
∴點B到AC的距離為4．

（3）如右圖，連接AN，
∵AC為直徑，
∴∠ANC=90°，
∴Rt△ACN中，AC=

CN

cos∠ACN

=

CN

sin∠BCP

=

5

5 5

=5，
又CD=2，
∴AD=AC-CD=5-2=3．
∵BD∥CP，
∴

BD

CP

=

AD

AC

，
∴CP=

20

3

．
在Rt△ACP中，AP=

AC2+CP2

=

25

3

，
AC+CP+AP=5+

20

3

+

25

3

=20，
∴△ACP的周長為20．

點評：本題考查了切線的判定與性質等知識，考查的知識點比較多，難度較大．