Question

如圖1是由兩塊全等的含30°角的直角三角板擺放而成，斜邊AC=10．
（1）若將△ADE沿直線(xiàn)AE翻折到如圖2的位置，ED'與BC交于點(diǎn)F，求證：CF=EF；
（2）求EF的長(zhǎng)；
（3）將圖2中的△AD'E沿直線(xiàn)AE向右平移到圖3的位置，使D'點(diǎn)落在BC上，求出平移的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，AC=AE，再根據(jù)翻折的對(duì)稱(chēng)性，AD=AD′，所以CD′=AB，然后證明△CD′F與△EBF全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可證明；
（2）先根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，BF=EF，然后在Rt△BEF中利用勾股定理列式求解即可；
（3）根據(jù)平移對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)互相平行，D′D″∥AB，又點(diǎn)D′是AC的中點(diǎn)，所以D′D″是△ABC的中位線(xiàn)，然后再根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半以及三角形中位線(xiàn)定理即可求出平移的距離．
解答：（1）證明：∵△ABC≌△ADE，
∴AC=AE，AB=AD，
根據(jù)翻折對(duì)稱(chēng)性，AD′=AD，
∴AD′=AB，
∴AC-AD′=AE-AB，
即CD′=BE，
在△CD′F與△EBF中，，
∴△CD′F≌△EBF（AAS），
∴CF=EF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）；

（2）解：∵∠C=30°，AC=10，
∴AB=AC=×10=5，
∴EB=10-AB=5，
在△EFB中，∠FEB=30°，
∴BF=EF，
根據(jù)勾股定理得EF²=BF²+EB²，
∴EF²=（EF）²+5²，
解得EF=；

（3）解：根據(jù)平移，D′D″∥AB，
又∵AD′=AB=5，CD′=10-AD′=5，
∴D′D″是△ABC的中位線(xiàn)，
∵∠C=30°，AC=10，
∴D′D″=AB=×AC=××10=，
故平移距離．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了折疊問(wèn)題，全等三角形的判定與性質(zhì)，也考查了勾股定理，三角形的中位線(xiàn)定理，它們的綜合性比較強(qiáng)，對(duì)于學(xué)生的綜合能力要求比較高，平時(shí)加強(qiáng)訓(xùn)練．