Question

已知：Rt△ABC斜邊上的高為2.4，將這個(gè)直角三角形放置在平面直角坐標(biāo)系中，使其斜邊AB與x軸重合，直角頂點(diǎn)C落在y軸正半軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1.8，0）．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)和經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線的關(guān)系式；
（2）如圖①，點(diǎn)M為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），MN∥AC，交線段BC于點(diǎn)N，MP∥BC，交線段AC于點(diǎn)P，連接PN，△MNP是否有最大面積？若有，求出△MNP的最大面積；若沒有，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖②，直線l是經(jīng)過點(diǎn)C且平行于x軸的一條直線，如果△ABC的頂點(diǎn)C在直線l上向右平移m，（2）中的其它條件不變，（2）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）∵AC⊥BC，OC⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴=
∵AO=1.8，則OC=2.4，
∴=
解得OB=3.2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3.2，0）
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入得y=-x

（2）用勾股定理求出AC=3，BC=4，
∵AC⊥BC，MN∥AC，MP∥BC，
∴四邊形MNCP為矩形，且△MNB∽△ACB，=
設(shè)MN=3x，則NB=4x，得CN=4-4x
∴四邊形MNCP的面積為3x（4-4x），從而△MNP的面積是：
S=3x（4-4x）
=-6x²+6x
=-6（x-）²+
當(dāng)x=，△MNP面積的最大值為；

（3）∵l∥AB，
∴△ABC的面積（2）中△ABC的面積相等為6，
由MN∥AC，MP∥BC，得△MNB∽△ACB，△MAP∽△BAC
則=，=
設(shè)MB=x，則AM=5-x，
∴△MBN的面積是；x²，△MAP的面積是：，
∴△MNP的面積是：
S=（△ABC的面積-△MBN的面積-△MAP的面積）
=-+x
=-，
當(dāng)x=，即MB為時(shí)，△MNP面積的最大值為，
∴（2）中的結(jié)論仍然成立．
分析：（1）本題須先證出△AOC∽△COB，從而得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入即可求出拋物線的解析式．
（2）本題須先根據(jù)△MNB∽△ACB，得出=，再表示出CN的長(zhǎng)，然后代入四邊形MNCP的面積為3x（4-4x），從而得出S=-6（x-）²+，即可求出
△MNP面積的最大值為．
（3）本題須先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出則△MNP的面積，然后求出△MNP面積的最大值即可得出正確結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，在解題時(shí)要注意把二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)與相似三角形的性質(zhì)相結(jié)合是本題的關(guān)鍵．