Question

如圖，在半徑為

10

，圓心角等于45°的扇形AOB內(nèi)部作一個矩形CDEF，使點C在OA上，點D、E在OB上，點F在弧AB上，且DE=2CD，則：
（1）弧AB的長是（結(jié)果保留π）

 

；
（2）圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留π）

 

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)弧長公式l=

nπr

180

，計算即可；
（2）用扇形的面積減去三角形的OCD和矩形CDFE面積即可．連接OF，利用勾股定理求出OD的長．

解答：解：（1）∵n=45°，r=

10

，
∴l(xiāng)=

nπr

180

=

45×π× 10

180

=

10

4

π；

（2）連接OF，設(shè)CD=x，則DE=2x
∵∠O=45°，則OD=x，
在直角三角形OEF中，由勾股定理得OE²+EF²=OF²，
即（3x）²+x²=(

10

)2，
解得x=±1（舍去負(fù)數(shù)），
∴OD=1，
S_陰影=S_扇形AOB-S_△OCD-S_矩形CDFE
=

45×π×10

360

-

1×1

2

-1×2，
=

5π

4

-

5

2

，
=

5π-10

4

．
故答案為：

10

4

π；

5π-10

4

．

點評：本題考查了扇形面積的計算，弧長的計算，熟練掌握弧長公式l=

nπr

180

，是解題的關(guān)鍵．