Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，F是線段AC上一點，過點A的⊙F交AB于點D，E是線段BC上一點，且ED=EB，則EF的最小值為_______________.

Answer 1

【答案】

【解析】

先取EF得中點O，連接DE、DE、DC，所以OC=EF，由AF=DF，BE=DE，得到∠A=∠ADF，∠B=∠BDE，從而∠ADF+∠BDE=∠A+∠B=90°，所以∠EDF=90°，因此OD=EF，得到EF=OC+OD，因此當C、O、D三點在同一直線上，且CD⊥AB時，OC+OD最短，由OE=OF，OC=OD，∠C=90°得到四邊形CEDF為矩形，于是過點C作CH⊥AB，此時點D與H重合，EF=OC+OD=CD=CH最短，由∠AFD=∠BED=90°，可知∠A=∠B=45°，從而CH為AB=，故EF的最小值為

取EF得中點O，連接DE、DE、DC，

∵∠C=90°，

∴OC=EF,∠A+∠B=90°，

∵AF=DF，BE=DE，

∴∠A=∠ADF，∠B=∠BDE，

∴∠ADF+∠BDE=∠A+∠B=90°，

∴∠EDF=90°，

∴OD=EF，

∴EF=OC+OD，

當C. O、D三點在同一直線上，且CD⊥AB時，OC+OD最短，

∵OE=OF，OC=OD，

∴四邊形CEDF為平行四邊形，

∵∠C=90°，

∴四邊形CEDF為矩形，

于是過點C作CH⊥AB，此時點D與H重合，EF=OC+OD=CD=CH最短，

∴∠AFD=∠BED=90°，

∴∠A=∠B=45°，

CH=AB=，

∴EF的最小值為.