Question

8．已知∠AOB=150°，OD為∠AOB內(nèi)部的一條射線(xiàn)
（1）如圖（1），若∠BOC=60°，OD為∠AOB內(nèi)部的一條射線(xiàn)，∠COD=$\frac{1}{3}$∠BOC，OE平分∠AOB，求∠DOE的度數(shù)．
（2）如圖（2），若OC、OD是∠AOB內(nèi)部的兩條射線(xiàn)，OM、ON分別平分∠AOD，∠BOC，且∠MOC≠∠NOD，求（∠AOC-∠BOD）/（∠MOC-∠NOD）的值．
（3）如圖（3），C₁為射線(xiàn)OB的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，將射線(xiàn)OB繞點(diǎn)O順時(shí)針以6°/s的速度旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后OB對(duì)應(yīng)射線(xiàn)為OB₁，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒（0＜t≤35），OE平分∠AOB₁，OF為∠C₁OB₁的三等分線(xiàn)，∠C₁OF=$\frac{1}{3}$∠C₁OB₁，若|∠C₁OF-∠AOE|=30°，直接寫(xiě)出t的值為9秒或15秒．

Answer 1

分析 （1）分兩種情況：①當(dāng)射線(xiàn)OD在∠BOC的內(nèi)部時(shí)，利用∠BOE-∠BOD來(lái)計(jì)算∠DOE的度數(shù)；②當(dāng)射線(xiàn)OD在∠AOC的內(nèi)部時(shí)，利用∠DOE=∠COD+∠BOC-∠BOE，代入計(jì)算即可；
（2）根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到∠MOD=$\frac{1}{2}$∠AOD，∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC，然后根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論；        
（3）①當(dāng)∠BOB₁＜90°時(shí)，②當(dāng)∠BOB₁＞90°時(shí)，列方程即可得到結(jié)論．

解答 解（1）分兩種情況：
①當(dāng)射線(xiàn)OD在∠BOC的內(nèi)部時(shí)，如圖1所示，
∵OE平分∠AOB，
∴∠BOE=$\frac{1}{2}$∠AOB，
又∠AOB=150°，
∴∠BOE=75°，
又∵∠COD=$\frac{1}{3}$∠BOC，且∠BOC=60°，
∴∠BOD=$\frac{2}{3}$∠BOC=$\frac{2}{3}$×60°=40°，
∴∠DOE=∠BOE-∠BOD=75°-40°=35°；                      
②當(dāng)射線(xiàn)OD在∠AOC的內(nèi)部時(shí)，
如圖2所示，同理得：∠BOE=75°，
∵∠COD=$\frac{1}{3}$∠BOC=$\frac{1}{3}$×60°=20°，
∴∠DOE=∠COD+∠BOC-∠BOE，
=20°+60°-75°，
=5°，
綜上所述，∠DOE=35°或5°；                            
（2）∵OM、ON分別平分∠AOD，∠BOC，
∴∠MOD=$\frac{1}{2}$∠AOD，∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC，
又∠MOC=∠MOD-∠COD，∠NOD=∠CON-∠COD，
∴∠MOC-∠NOD=（∠MOD-∠COD）-（∠CON-∠COD），
=$\frac{1}{2}$∠AOD-∠COD-（$\frac{1}{2}$∠BOC-∠COD），
=$\frac{1}{2}$（∠AOD-∠BOC），
而∠AOD=∠AOC+∠COD，∠BOC=∠BOD+∠COD，
∴∠MOC-∠NOD=$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠COD-∠BOD-COD），
=$\frac{1}{2}$（∠AOC-∠BOD），
∴（∠AOC-∠BOD）/（∠MOC-∠NOD）=$\frac{∠AOC-∠BOD}{\frac{1}{2}（∠AOC-∠BOD）}$=2；                        

（3）①當(dāng)∠BOB₁＜90°時(shí)，
∵∠BOB₁=6t，
∴∠AOB₁=150°+6t，
∵OE平分∠AOB₁，
∴∠AOE=$\frac{1}{2}∠$AOB₁=$\frac{1}{2}$（150°+6t）=75^°+3t，
∵∠C₁OB₁=360°-∠C₁OB₁=180°-6t，
∵∠C₁OF=$\frac{1}{3}$∠C₁OB₁，
∴∠C₁OF=60°-2t，
∵|∠C₁OF-∠AOE|=30°，
∴75^°+3t-60°+2t=30°或60°-2t-75°-3t=30°，
∴t=9，
②當(dāng)∠BOB₁＞90°時(shí)，
同理t=15，
故答案為：9秒或15秒．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是角的計(jì)算，根據(jù)OD的位置進(jìn)行分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．