Question

如圖是一個(gè)形如正六邊形的點(diǎn)陣，它的中心是一個(gè)點(diǎn)，算第一層，第二層每邊有兩個(gè)點(diǎn)，第三層每邊有三個(gè)點(diǎn)，…，依此類推．

（1）填寫下表：

層數(shù)	1	2	3	4	…
該層對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)	1	6	12	18	…
所有層的總點(diǎn)數(shù)	1				…

（2）寫出第n層所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)（n≥2）；
（3）寫出n層的正六邊形點(diǎn)陣的總點(diǎn)數(shù)（n≥2）；
（4）如果點(diǎn)陣中所有層的總點(diǎn)數(shù)為331，請(qǐng)求出它共有幾層？

Answer 1

（1）7、19、37；（2）；（3）；（4）11層

試題分析：根據(jù)六邊形有六條邊，則第一層有1個(gè)點(diǎn)，第二層有2×6-6=6（個(gè)）點(diǎn)，第三層有3×6-6=12（個(gè)）點(diǎn)，根據(jù)這個(gè)特征得到規(guī)律，再把這個(gè)規(guī)律應(yīng)用于解題即可．
（1）第一層上的點(diǎn)數(shù)為1；
第二層上的點(diǎn)數(shù)為6=1×6；
第三層上的點(diǎn)數(shù)為6+6=2×6；
第四層上的點(diǎn)數(shù)為6+6+6=3×6；
…
第n層上的點(diǎn)數(shù)為（n-1）×6；
則2層六邊形點(diǎn)陣的總點(diǎn)數(shù)為1+6=7
3層六邊形點(diǎn)陣的總點(diǎn)數(shù)為1+6+12=19
4層六邊形點(diǎn)陣的總點(diǎn)數(shù)為1+6+12+18=37；
（2）n層六邊形點(diǎn)陣的總點(diǎn)數(shù)為1+1×6+2×6+3×6+…+（n-1）×6
=1+6[1+2+3+4+…+（n-1）]=1+6[（1+2+3+…+n-1）+（n-1+n-2+…+3+2+1）]÷2
；
（3）由題意得
解得（舍去）
答：共有11層.
點(diǎn)評(píng)：對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．通過(guò)分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．