Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與y軸交于點(diǎn)A(0，3)，與x軸分別交于B(1，0)、C(5，0)兩點(diǎn).

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)D為線段OA的一個(gè)三等分點(diǎn)，求直線DC的解析式；

(3)若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P自O(shè)A的中點(diǎn)M出發(fā)，先到達(dá)x軸上的某點(diǎn)(設(shè)為點(diǎn)E)，再到達(dá)拋物線的對稱軸上某點(diǎn)(設(shè)為點(diǎn)F)，最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A.求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短總路徑的長.

Answer 1

答案：
解析：

思路解析：(1)已知圖象上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求出函數(shù)解析式; (2)根據(jù)分點(diǎn)的意義，算出兩個(gè)分點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法分別求出解析式; (3)路徑最短問題，可以用軸對稱變換，把線段轉(zhuǎn)換到同一直線上. 作點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點(diǎn)A′，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)M′，連接A′M′，則線段A′M′的長就是最小的線段和. 解：根據(jù)題意，c=3，所以 解得 所以，拋物線的解析式為 (2)根據(jù)題意可得OA的三等分點(diǎn)分別為(0，1)，(0，2). 設(shè)直線CD的解析式為y=kx+m. 當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，1)時(shí)，直線CD的解析式為y=x+1; 當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，2)時(shí)，直線CD的解析式為y=x+2. (3)如圖，由題意可得M(0，). 點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為M′(0，)， 點(diǎn)A關(guān)于拋物線對稱軸x=3軸的對稱點(diǎn)為A′(6，3)， 連接A′M′.根據(jù)軸對稱性質(zhì)及兩點(diǎn)間線段最短可知，A′M′的長度就是所求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短總路徑的長. 所以A′M′與x軸的交點(diǎn)為所求E點(diǎn)，A′M′與直線x=3的交點(diǎn)為所求F點(diǎn). 把A′、M′的坐標(biāo)代入解析式得，直線A′M′的解析式為. 所以E點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為(3，). 由勾股定理求得A′M′=. 所以點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短總路徑(ME+EF+FA)的長為.