Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6，等邊三角形DEF從初始位置（點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，EF落在BC上，如圖1所示）在線段BC上沿BC方向以每秒1個(gè)單位的速度平移，DE、DF分別與AB相交于點(diǎn)M、N．當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，△DEF停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)點(diǎn)D恰好落在AB上．在△DEF開始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，如果點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度從D點(diǎn)出發(fā)沿DE→EF運(yùn)動(dòng)，最終運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)．若設(shè)△DEF平移的時(shí)間為x秒，△PMN的面積為y．
（1）△DEF的邊長為

3

；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，P點(diǎn)與M點(diǎn)重合？
（3）當(dāng)點(diǎn)P在DE上時(shí)，x為何值時(shí)，△PMN是直角三角形？
（4）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并說明當(dāng)P點(diǎn)在何處時(shí)，△PMN的面積最大？

Answer 1

分析：（1）由題意知：當(dāng)F與C點(diǎn)重合時(shí)D正好在AB上，此時(shí)三角形ACD中，∠ACD=90°-60°=30°，而∠A=60°，因此∠ADC=90°，可在直角三角形BCD中，根據(jù)∠B的正弦值及BC的長求出等邊三角形的邊長；
（2）根據(jù)∠BME=∠DEF-∠B=60°-30°=30°，得出∠BME=∠B，進(jìn)而得出BE=ME=x，DM=3-x，求出x即可；
（3）根據(jù)當(dāng)0≤x≤1時(shí)，①當(dāng)x=0時(shí)，△PMN是直角三角形；②過N作NP⊥DE于P，此時(shí)△PMN是直角三角形，求出x即可；
當(dāng)1＜x≤

3

2

時(shí)，△PMN是鈍角三角形，不可能是直角三角形．
（4）當(dāng)P與M重合時(shí)，那么根據(jù)P的速度可表示出DM的長，而ME=BE為三角形平移的距離，據(jù)此可求出x=1．當(dāng)P到達(dá)E點(diǎn)時(shí)，DP=DE，可求得此時(shí)x=

3

2

．
①當(dāng)P在DM之間時(shí)，即0≤x≤1，MN的長可在直角三角形DMN中，根據(jù)DM和∠DMN的余弦值求出，過P作PP₁⊥MN于P₁，那么PP₁就是MN邊上的高，可在直角三角形MPP₁中根據(jù)MP的長和∠PMP₁的正弦值求出（MP可根據(jù)DE-DP-ME來得出）．據(jù)此可得出關(guān)于S，x函數(shù)關(guān)系式．
②當(dāng)P在EM之間時(shí)，即1＜x≤

3

2

，可過P作PP₂⊥AB與P₂，那么PP₂的長可在直角三角形PP₂M中，根據(jù)PM的長和∠BME的正弦值求出，進(jìn)而可根據(jù)三角形的面積公式求出S、x的函數(shù)關(guān)系式．
③當(dāng)P在EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即

3

2

≤x≤3，解法同上．
根據(jù)上述三種情況得出的函數(shù)的性質(zhì)及各自的自變量的取值范圍，可求得S的最大值及對(duì)應(yīng)的x的值．

解答：（1）解：當(dāng)F點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，如圖1所示：
∵△DEF為等邊三角形，
∴∠DFE=60°
∵∠B=30°，
∴∠BDF=90°
∴FD=

1

2

BC=3；
故答案為：3；

（2）解：∵∠BME=∠DEF-∠B=60°-30°=30°，
∴∠BME=∠B，
∴BE=ME=x，DM=3-x，
當(dāng)P點(diǎn)與M點(diǎn)重合時(shí)，有2x+x=3，
∴x=1；

（3）當(dāng)0≤x≤1時(shí)，
①當(dāng)x=0時(shí)，△PMN是直角三角形；
②過N作NP⊥DE于P，此時(shí)△PMN是直角三角形．
∵M(jìn)P=DE-DP-ME=3-2x-x=3-3x，
MN=MD•cos30°=

3

2

(3-x)，
∴MP=

3

2

MN，
∴3-3x=

3

2

×

3

2

(3-x)，
∴x=

1

3

，
當(dāng)1＜x≤

3

2

時(shí)，△PMN是鈍角三角形，不可能是直角三角形，
即當(dāng)x=0或

1

3

時(shí)，△PMN是直角三角形．

（4）①當(dāng)0≤x≤1時(shí)，過P點(diǎn)作PP₁⊥AB，垂足為P₁，
在Rt△PMP₁中，PM=3-x-2x=3-3x，
∴PP1=

1

2

(3-3x)=

3

2

(1-x)，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=

1

2

×

3

2

（3-x）×

3

2

（1-x），
=

3 3

8

（x²-4x+3），
②當(dāng)1＜x≤

3

2

時(shí)，過P點(diǎn)作PP₂⊥AB，垂足為P₂，
在Rt△PMP₂中，PM=x-（3-2x）=3（x-1），
∴PP2=

3

2

(x-1)，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=

1

2

×

3

2

（3-x）×

3

2

（x-1），
=-

3 3

8

（x²-4x+3）；
③當(dāng)

3

2

＜x≤3時(shí)，過P點(diǎn)作PP₃⊥AB，垂足為P₃，
在Rt△PMP₃中，PB=x+（2x-3）=3（x-1），
∴PP3=

3

2

(x-1)，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：
y=

1

2

×

3

2

（3-x）×

3

2

（x-1），
=-

3 3

8

（x²-4x+3），
=-

3 3

8

（x-2）²+

3 3

8

，
∴當(dāng)x=2時(shí)，y最大=

3 3

8

，
而當(dāng)P點(diǎn)在D點(diǎn)時(shí)，x=0，
y=

1

2

×3×

3

2

×

3

2

=

9 3

8

，
∵

9

8

3

＞

3

8

3

，
∴當(dāng)P點(diǎn)在D點(diǎn)時(shí)，△PMN的面積最大．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形和直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，此題應(yīng)注意分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用．