Question

（2013•浙江一模）如圖，在△AOC中，AC=OC，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)A坐標(biāo)是（1，3），則點(diǎn)C的坐標(biāo)是

（5，0）

．若A點(diǎn)在雙曲線(xiàn)y=

k

x

（x＞0）上，AC與雙曲線(xiàn)交于點(diǎn)B，點(diǎn)E是線(xiàn)段OA上一點(diǎn)（不與O，A重合），設(shè)點(diǎn)D（m，0）是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠BED=∠AOC，當(dāng)線(xiàn)段OA上符合條件的點(diǎn)E有且僅有2個(gè)時(shí)，m的取值范圍是

0＜m＜

2

3

．

Answer 1

分析：首先過(guò)點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OA于點(diǎn)F，易得△AOH∽△COF，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得OC的長(zhǎng)，即可得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
由∠BED=∠AOC，AC=OC，易證得△ABE∽△OED，由A與C的坐標(biāo)，可求得直線(xiàn)AC與反比函數(shù)的解析式，繼而求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，即可求得AB的長(zhǎng)，然后設(shè)AE=x，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得方程：x²-

10

x+

15

4

m=0，然后由判別式△＞0，求得m的取值范圍．

解答：解：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OA于點(diǎn)F，
∵AC=OC，
∴CF⊥OA，
∴∠CFO=∠AHO=90°，
∵∠AOH=∠COF，
∴△AOH∽△COF，
∴

OH

OF

=

OA

OC

，
∵點(diǎn)A坐標(biāo)是（1，3），
∴OA=

12+32

=

10

，
∴OF=

1

2

OA=

10

2

，
∴OC=

OA•OF

OH

=5，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（5，0）；
∵AC=OC，
∴∠BAE=∠AOC，
∵∠OEC=∠BED+∠OED=∠BAE+∠ABE，∠BED=∠AOC，
∴∠OED=∠ABE，
∴△ABE∽△OED，
∴AE：OD=AB：OE，
設(shè)AE=x，則OE=

10

-x，
∵點(diǎn)A（1，3），點(diǎn)C（5，0），
∴設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為：y=kx+b，
即

k+b=3 5k+b=0

，
解得：

k=- 3 4 b= 15 4

，
即y=-

3

4

x+

15

4

①，
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上，
∴此反比例函數(shù)的解析式為：y=

3

x

②，
聯(lián)立①②得：x=4或x=1（舍去），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（4，

3

4

），
∴AB=

(4-1)2+( 3 4

-3)2=

15

4

，
∴x：m=

15

4

：（

10

-x），
即x²-

10

x+

15

4

m=0，
∵線(xiàn)段OA上符合條件的點(diǎn)E有且僅有2個(gè)，
∴判別式△=（-

10

）²-4×1×

15

4

m=10-15m＞0，
解得：m＜

2

3

，
∵點(diǎn)E是線(xiàn)段OA上一點(diǎn)（不與O，A重合），
∴m＞0，
∴m的取值范圍是：0＜m＜

2

3

．
故答案為：（5，0）；0＜m＜

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)以及判別式的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．