Question

已知正數(shù)a，b滿足a³b+ab³-2a²b+2ab²=7ab-8，則a²-b²=（　　）

• A、1
• B、3
• C、5
• D、不能確定

Answer 1

分析：首先將a³b+ab³-2a²b+2ab²=7ab-8通過提取公因式、運用完全平方式、添加項轉(zhuǎn)化為ab（a-b-1）²+2（ab-2）²=0．再根據(jù)a、b均為正數(shù)以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得到a-b=1、ab=2，進而解出a、b的值，代入a²-b²求得結(jié)果．

解答：解：∵a³b+ab³-2a²b+2ab²=7ab-8，
?ab（a²+b²）-2ab（a-b）=7ab-8，
?ab（a²-2ab+b²）-2ab（a-b）+2a²b²-7ab+8=0，
?ab（a-b）²-2ab（a-b）+2a²b²-7ab+8=0，
?ab[（a-b）²-2（a-b）+1]+2（a²b²-4ab+4）=0，
?ab（a-b-1）²+2（ab-2）²=0，
∵a、b均為正數(shù)，
∴ab＞0，
∴a-b-1=0，ab-2=0，
即a-b=1，ab=2，
解方程

a-b=1 ab=2

，
解得a=2、b=1，a=-1、b=-2（不合題意，舍去），
∴a²-b²=4-1=3．
故選B．

點評：本題考查因式分解的應(yīng)用、完全平方式、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是將原式a³b+ab³-2a²b+2ab²=7ab-8轉(zhuǎn)化為ab（a-b-1）²+2（ab-2）²=0形式，根據(jù)已知與非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定出a、b的值．