Question

九(1)班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組，為了研究學(xué)習(xí)二次函數(shù)問題，他們經(jīng)歷了實(shí)踐一應(yīng)用——探究的過程：

  (1)實(shí)踐：他們對(duì)一條公路上橫截面為拋物線的單向雙車道的隧道(如圖①)進(jìn)行測(cè)量，測(cè)得一隧道的路面寬為10m．隧道頂部最高處距地面6.25m，并畫出了隧道截面圖．建立了如圖②所示的直角坐標(biāo)系．請(qǐng)你求出拋物線的解析式．

  (2)應(yīng)用：按規(guī)定機(jī)動(dòng)車輛通過隧道時(shí)，車頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少為0.5m．為了確保安全．問該隧道能否讓最寬3m．最高3.5m的兩輛廂式貨車居中并列行駛(兩車并列行駛時(shí)不考慮兩車間的空隙)?

  (3)探究：該課題學(xué)習(xí)小組為進(jìn)一步探索拋物線的有關(guān)知識(shí)，他們借助上述拋物線模型塑．提出了以下兩個(gè)問題，請(qǐng)予解答：

Ⅰ．如圖③，在拋物線內(nèi)作矩形ABCD，使頂點(diǎn)C、D落在拋物線上．頂點(diǎn)A、B落在x軸上．設(shè)矩形ABCD的周長為，求的最大值。

Ⅱ．如圖④，過原點(diǎn)作一條的直線OM，交拋物線于點(diǎn)M．交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)N，P為直線OM上一動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q。問在直線OM上是否存在點(diǎn)P，使以P、N、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：根據(jù)題意可知：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(5，6.25)，∴設(shè)函數(shù)解析式為y=a(x－5)²+6.25.

又拋物線經(jīng)過原點(diǎn)（0，0），∴0=a(0-5)²+6.25. 解得：a=－

∴函數(shù)解析式為y=－(x－5)²+6.25   （0≤x≤10）

解：,設(shè)并行的兩車為矩形ABCD，∴AB=3×2=6,AD=3.5 

∴A點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，代入y=－(x－5)²+6.25

∴y=－(2－5)²+6.25=4＞3.5

所以該隧道能讓最寬3m，最高3.5m的兩輛廂式貨車居中并列行駛

解：設(shè)A點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則AB=10-2m，D（m，）

∴矩形ABCD的周長為l=2（AD+AB）=2（10-2m+）==

∵a=－＜0，拋物線開口向下，  ∴當(dāng)m=1，矩形ABCD的周長l的最大值為

解：存在這樣的點(diǎn)P，使得△PNQ為等腰直角三角形。

直線OM：y=x與對(duì)稱軸的交點(diǎn)N（5，5）,與直線段PQ交于點(diǎn)P，顯然當(dāng)Q點(diǎn)縱坐標(biāo)為5時(shí),QN//x軸,∠ONQ=∠NOx=45°,△PQN為等腰直角三角形。

此時(shí)，5=，解得：m=5±

∴當(dāng)P(5-，5-)或P(5+，5+)時(shí)，△PQN為等腰直角三角形。