Question

小明參加數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)，提供了下面3個(gè)有聯(lián)系的問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解決：
（1）如圖①，等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)C在直線l上滑動(dòng)，分別過(guò)A、B作直線l的垂線，垂足為D、E．那么，點(diǎn)C在滑動(dòng)過(guò)程中，線段DE、AD及BE的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____；
（2）如圖②，△ABC中，AP⊥BC于P，分別以AB、AC為邊向外做正方形ABDE和正方形ACGF，再分別過(guò)E、F作直線AP的垂線，垂足為M、N．求證：PN=EM+PC；
（3）如圖③，若把圖②中的正方形ABDE和正方形ACGF改成矩形ABDE和矩形ACGF，且AB=mBD，CG=mAC，其它條件不變．請(qǐng)問(wèn)（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出新的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CBE．
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADE=∠BED=90°，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE．
∵DE=DC+CE，
∴DE=BE+AD．
故答案為：DE=BE+AD．

（2）證明：∵四邊形ABDE和四邊形ACGF都是正方形，
∴AE=AB，∠EAB=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵EM⊥AP，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∴△EMA≌△APB，
∴EM=AP．
同理可證：△FNA≌△APC，
∴AN=PC．
∵PN=AN+AP，
∴PN=EM+PC．

（3）解：結(jié)論不成立，有PN=m（EM+PC）．
∵四邊形ABDE和四邊形ACGF是矩形，
∴∠BAE=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵EM⊥AP，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∴△EMA∽△APB，
∴=m，
∴AP=mEM．
同理可得△FNA∽△APC，
∴，
∴AN=mPC，
∵PN=PA+NA，
∴PN=m（EM+PC）．
分析：（1）利用三角形全等可以得出DC=BE，AD=CE，從而得出線段DE、AD及BE的數(shù)量關(guān)系．
（2）利用正方形的性質(zhì)證明△MEA≌△PAB和△FNA≌△APC，從而得出結(jié)論P(yáng)N=EM+PC．
（3）根據(jù)三角形相似可以得出PN=m（EM+PC），從而得出結(jié)論不成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)的運(yùn)用．