Question

（2012•潮南區(qū)模擬）某數(shù)學(xué)興趣小組，利用樹影測量樹高，如圖（1），已測出樹AB的影長AC為12米，并測出此時(shí)太陽光線與地面成30°夾角．
（1）求出樹高AB；
（2）因水土流失，此時(shí)樹AB沿太陽光線方向倒下，在傾倒過程中，樹影長度發(fā)生了變化，假設(shè)太陽光線與地面夾角保持不變．求樹的最大影長．（用圖（2）解答）

Answer 1

分析：（1）在直角△ABC中，已知∠ACB=30°，AC=12米．利用三角函數(shù)即可求得AB的長；
（2）在△AB₁C₁中，已知AB₁的長，即AB的長，∠B₁AC₁=45°，∠B₁C₁A=30°．過B₁作AC₁的垂線，在直角△AB₁N中根據(jù)三角函數(shù)求得AN，BN；再在直角△B₁NC₁中，根據(jù)三角函數(shù)求得NC₁的長，再根據(jù)當(dāng)樹與地面成60°角時(shí)影長最大，根據(jù)三角函數(shù)即可求解．

解答：解：（1）AB=ACtan30°=12×

3

3

=4

3

（米）．
答：樹高約為4

3

米．
（2）如圖（2），B₁N=AN=AB₁sin45°=4

3

×

2

2

=2

6

（米）．
NC₁=NB₁tan60°=2

6

×

3

=6

2

（米）．
AC₁=AN+NC₁=2

6

+6

2

．
當(dāng)樹與地面成60°角時(shí)影長最大AC₂（或樹與光線垂直時(shí)影長最大或光線與半徑為AB的⊙A相切時(shí)影長最大）
AC₂=2AB₂=8

3

；

點(diǎn)評：此題考查了平行投影；通過作高線轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題，當(dāng)太陽光線與圓弧相切時(shí)樹影最長，是解題的關(guān)鍵．