Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，CD⊥AB，垂足為D，已知CD=4，OD=3，求AC的長．

Answer 1

分析：首先連接BC，由AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，易證得△ADC∽△CDB，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求得⊙O的半徑，繼而求得AC的長．

解答：解：連接BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD=90°，∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ADC∽△CDB，
∴

AD

CD

=

CD

BD

，
∵CD=4，OD=3，
設⊙O半徑為x，
則BD=OB-OD=x-3，AD=OA+OD=3+x，
∴

x+3

4

=

4

x-3

，
解得：x=5，
∴AD=8，
在Rt△ACD中，AC=

AD2+CD2

=4

5

．

點評：此題考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想與方程思想的應用．