Question

【題目】如圖，△ABC，△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，將△ADE繞點A在平面內自由旋轉，連接DC，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點，若AD=3，AB=7，則線段MN的取值范圍是______．

Answer 1

【答案】2≤MN≤5

【解析】

根據中位線定理和等腰直角三角形的判定證明△PMN是等腰直角三角形，求出MN=BD，然后根據點D在AB上時，BD最小和點D在BA延長線上時，BD最大進行分析解答即可．

∵點P，M分別是CD，DE的中點，

∴PM=CE，PM∥CE，

∵點P，N分別是DC，BC的中點，

∴PN=BD，PN∥BD，

∵△ABC，△ADE均為等腰直角三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAD=∠CAE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD=CE，

∴PM=PN，

∴△PMN是等腰三角形，

∵PM∥CE，

∴∠DPM=∠DCE，

∵PN∥BD，

∴∠PNC=∠DBC，

∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，

∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，

∵∠BAC=90°，

∴∠ACB+∠ABC=90°，

∴∠MPN=90°，

∴△PMN是等腰直角三角形，

∴PM=PN=BD，

∴MN=BD，

∴點D在AB上時，BD最小，

∴BD=AB-AD=4，MN的最小值2；

點D在BA延長線上時，BD最大，

∴BD=AB+AD=10，MN的最大值為5，

∴線段MN的取值范圍是2≤MN≤5．

故答案為：2≤MN≤5．