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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

          【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經過A,B,C三點,點B的坐標為(-3,0),且OC=3OA,直線y=x+m經過B、C兩點.

          (1)求拋物線的解析式;

          (2)在拋物線的對稱軸上找一點M,使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小,求出點M的坐標;

          (3)設點P為拋物線的對稱軸上的一個動點,求使△BPC為直角三角形的點P的坐標.

          【答案】(1)y=-x2-2x+3;(2)(-1,2);(3)(-1,-2)或(-1,4)或(-1,)或(-1,).

          【解析】

          試題分析:(1)先把點B代入y=x+m,求得m的值,求得C的坐標,然后根據待定系數法即可求得拋物線的解析式;

          (2)設直線BC與對稱軸x=-1的交點為M,則此時MA+MC的值最小.把x=-1代入直線y=x+3得y的值,即可求出點M坐標;

          (3)設P(-1,t),又因為B(-3,0),C(0,3),所以可得BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10,再分三種情況分別討論求出符合題意t值,即可求出點P的坐標.

          試題解析:(1)把B(-3,0)代入y=x+m,

          得-3+m=0,m=3,

          ∴直線的解析式為y=x+3;

          ∴點C的坐標為(0,3),

          ∵OC=3OA,

          ∴點A的坐標為(1,0),

          ,解得,

          ∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+3;

          (2)∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,

          ∴對稱軸是直線x=-1,

          設直線BC與對稱軸x=-1的交點為M,則此時MA+MC的值最。

          把x=-1代入直線y=x+3得,y=2,

          ∴M(-1,2),

          即當點M到點A的距離與到點C的距離之和最小時M的坐標為(-1,2);

          (3)設P(-1,t),又∵B(-3,0),C(0,3),

          ∴BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10,

          ①若點B為直角頂點,則BC2+PB2=PC2

          :18+4+t2=t2-6t+10解之得:t=-2;

          ②若點C為直角頂點,則BC2+PC2=PB2

          :18+t2-6t+10=4+t2解之得:t=4,

          ③若點P為直角頂點,則PB2+PC2=BC2

          :4+t2+t2-6t+10=18解之得:t1=,t2=;

          綜上所述P的坐標為(-1,-2)或(-1,4)或(-1,)或(-1,).

          練習冊系列答案
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