Question

【題目】如圖,在直角坐標平面內,函數(x>0,m是常數)的圖象經過A(1,4),B(a,b),其中a>1.過點A作x軸垂線，垂足為C，過點B作y軸垂線，垂足為D，連接AD，DC，CB.

(1)若△ABD的面積為4，求點B的坐標；

(2)求證：DC∥AB；

(3)當AD=BC時，求直線AB的函數解析式.

Answer 1

【答案】（1）(3, )；（2）見解析；（3）y=2x+6或y=x+5.

【解析】

（1）由函數（x>0，m是常數）的圖象經過A（1，4），可求m=4，由已知條件可得B點的坐標為（a，），又由△ABD的面積為4，即a（4-）=4，得a=3，所以點B的坐標為（3，）；

（2）依題意可證， ，，所以DC∥AB；

（3）由于DC∥AB，當AD=BC時，有兩種情況：①當AD∥BC時，四邊形ADCB是平行四邊形，由（2）得，點B的坐標是（2，2），設直線AB的函數解析式為y=kx+b，用待定系數法可以求出解析式（把點A，B的坐標代入），是y=-2x+6．

②當AD與BC所在直線不平行時，四邊形ADCB是等腰梯形，則BD=AC，可求點B的坐標是（4，1），設直線AB的函數解析式y=kx+b，用待定系數法可以求出解析式（把點A，B的坐標代入），是y=-x+5．

(1)∵函數 (x>0,m是常數)圖象經過A(1,4)，

∴m=4.

∴y= ，

設BD,AC交于點E,據題意,可得B點的坐標為(a, ),D點的坐標為(0, ),E點的坐標為(1, )，

∵a>1，

∴DB=a,AE=4.

由△ABD的面積為4,即a(4)=4，得a=3，

∴點B的坐標為(3, )；

(2)證明：據題意,點C的坐標為(1,0)，DE=1，

∵a>1，

易得EC=，BE=a1，

∴.

∴且∠AEB=∠CED，

∴△AEB∽△CED，

∴∠ABE=∠CDE，

∴DC∥AB；

(3)∵DC∥AB，

∴當AD=BC時，有兩種情況：

①當AD∥BC時,四邊形ADCB是平行四邊形,由(2)得，

=a1，

∴a1=1，得a=2.

∴點B的坐標是(2,2).

設直線AB的函數解析式為y=kx+b，把點A，B的坐標代入，

得 ，

解得.

故直線AB的函數解析式是y=2x+6.

②當AD與BC所在直線不平行時，四邊形ADCB是等腰梯形，則BD=AC，

∴a=4，

∴點B的坐標是(4,1).

設直線AB的函數解析式為y=kx+b，把點A，B的坐標代入，

得 ，

解得 ，

故直線AB的函數解析式是y=x+5.

綜上所述，所求直線AB的函數解析式是y=2x+6或y=x+5.