Question

如圖，拋物線(xiàn)c₁：y=x²-2x-3與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)P為線(xiàn)段BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)l⊥x軸于點(diǎn)F，交拋物線(xiàn)c₁點(diǎn)E．
（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線(xiàn)段PE長(zhǎng)的最大值；
（3）當(dāng)PE為最大值時(shí)，把拋物線(xiàn)c₁向右平移得到拋物線(xiàn)c₂，拋物線(xiàn)c₂與線(xiàn)段BE交于點(diǎn)M，若直線(xiàn)CM把△BCE的面積分為1：2兩部分，則拋物線(xiàn)c₁應(yīng)向右平移幾個(gè)單位長(zhǎng)度可得到拋物線(xiàn)c₂？

Answer 1

分析：（1）已知了拋物線(xiàn)的解析式即可求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）由于直線(xiàn)l與y軸平行，那么F、P、E三點(diǎn)的橫坐標(biāo)就應(yīng)該相等，那么PE的長(zhǎng)可看做是直線(xiàn)BC的函數(shù)值和拋物線(xiàn)的函數(shù)值的差．由此可得出關(guān)于PE的長(zhǎng)和三點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出PE的最大值．
（3）先用平移的單位設(shè)出c₂的解析式．由于直線(xiàn)CM把△BCE的面積分為1：2兩部分，根據(jù)等高三角形的面積比等于底邊比，可得出ME：BE=1：2或2：1．因此本題要分兩種情況進(jìn)行討論，可過(guò)M作x軸的垂線(xiàn)，先根據(jù)相似三角形求出M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)直線(xiàn)BE的解析式，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．由于拋物線(xiàn)c₂經(jīng)過(guò)M點(diǎn)，據(jù)此可求出拋物線(xiàn)需要平移的單位．

解答：解：（1）已知拋物線(xiàn)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，令y=0，
則有：x²-2x-3=0，
解得x=-1，x=3；
因此A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0）；
令x=0，y=-3，
因此C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-3）．

（2）設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=kx-3．
則有：3k-3=0，k=1，
因此直線(xiàn)BC的解析式為y=x-3．
設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，0）．
PE=EF-PF=|a²-2a-3|-|a-3|=-a²+3a=-（a-

3

2

）²+

9

4

（0≤a≤3）
因此PE長(zhǎng)的最大值為

9

4

．

（3）由（2）可知：F點(diǎn)的坐標(biāo)為（

3

2

，0）．
因此BF=OB-OF=

3

2

．
設(shè)直線(xiàn)BE的解析式為y=kx+b．則有：

3k+b=0 3 2 k+b=- 15 4

，
解得：

k= 5 2 b=- 15 2

，
∴直線(xiàn)BE的解析式為y=

5

2

x-

15

2

．
設(shè)平移后的拋物線(xiàn)c₂的解析式為y=（x-1-k）²-4（k＞0）．
過(guò)M作MN⊥x軸于N，
①M(fèi)E：MB=2：1；
∵M(jìn)N∥EF
∴

BM

BE

=

BN

BF

=

1

3

∴BN=

1

2

，
∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（

5

2

，0），又直線(xiàn)BE過(guò)M點(diǎn)．
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（

5

2

，-

5

4

）．
由于拋物線(xiàn)c2過(guò)M點(diǎn)，
因此-

5

4

=（

5

2

-1-k）²-4，
解得k=

3+ 11

2

（負(fù)值舍去）．
②ME：MB=1：2；

BM

BE

=

BN

BF

=

2

3

∴BN=1
∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-

5

2

）．
由于拋物線(xiàn)c₂過(guò)M點(diǎn)，
則有-

5

2

=（2-1-k）²-4，
解得k=1+

6

2

（負(fù)值舍去）．
因此拋物線(xiàn)c₁應(yīng)向右平移

3+ 11

2

或1+

6

2

個(gè)單位長(zhǎng)度后可得到拋物線(xiàn)c₂．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)圖象的平移、圖形面積的求法、函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)，考查了學(xué)生分類(lèi)討論數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．