Question

如圖，A、B、C三點在同一直線上，分別以AB、BC為邊，在直線AC的同側(cè)作等邊△ABD和等邊△BCE，連接AE交BD于點M，連接CD交BE于點N，連接MN得△BMN．

（1）求證：△ABE≌△DBC．

（2）試判斷△BMN的形狀，并說明理由.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）△BMN為等邊三角形，理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）由三角形ABD與三角形BCE都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到兩條邊對應(yīng)相等，兩個角相等都為60°，利用SAS即可得到三角形ABE與三角形DBC全等；

（2）三角形BMN為等邊三角形，理由為：由第一問三角形ABE與三角形DBC全等，利用全等三角形的對應(yīng)角相等得到一對角相等，再由∠ABD=∠EBC=60°，利用平角的定義得到∠MBE=∠NBC=60°，再由EB=CB，利用ASA可得出三角形EMB與三角形CNB全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等得到MB=NB，再由∠MBE=60°，利用有一個角為60°的等腰三角形為等邊三角形可得出三角形BMN為等邊三角形．

試題解析：（1）證明：∵等邊△ABD和等邊△BCE，

∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°，

∴∠ABE=∠DBC=120°，

在△ABE和△DBC中，

∵

∴△ABE≌△DBC（SAS）；

（2）△BMN為等邊三角形，理由為：

證明：∵△ABE≌△DBC，

∴∠AEB=∠DCB，

又∠ABD=∠EBC=60°，

∴∠MBE=180°-60°-60°=60°，

即∠MBE=∠NBC=60°，

在△MBE和△NBC中，

∵ ，

∴△MBE≌△NBC（ASA），

∴BM=BN，∠MBE=60°，

則△BMN為等邊三角形．

考點：1.等邊三角形的判定與性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)．