Question

已知二次函數(shù)y=x²-（2m+1）x+m²-1．
（1）如果該函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，請(qǐng)求出m的值及此時(shí)圖象與x軸的另一交點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如果該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在第四象限，請(qǐng)求出m的取值范圍；
（3）若把（1）中求得的函數(shù)的圖象沿其對(duì)稱軸上下平行移動(dòng)，使頂點(diǎn)移到直線y=

1

2

x上，請(qǐng)求出此時(shí)函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)函數(shù)圖象過原點(diǎn)時(shí)，m²-1=0，即可求出m的值，進(jìn)而可求出拋物線的解析式，然后根據(jù)拋物線的解析式即可得出二次函數(shù)與x軸的另一交點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）先用配方法求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后讓縱坐標(biāo)大于0，縱坐標(biāo)小于0即可求出m的取值范圍．
（3）可將（2）中得出的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的解析式中即可求出拋物線的解析式．

解答：解：（1）由題意可知m²-1=0
解得m=1，m=-1，
當(dāng)m=1時(shí)，y=x²-3x，二次函數(shù)與x軸另一交點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0）；
當(dāng)m=-1時(shí)，y=x²+x，二次函數(shù)與x軸另一交點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0）．
（2）已知拋物線的解析式為y=x²-（2m+1）x+m²-1=（x-

2m+1

2

）²-

5+4m

4

因此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

2m+1

2

，-

5+4m

4

）
由于拋物線頂點(diǎn)在第四象限因此可得

2m+1 2 ＞0 - 5+4m 4 ＜0

解得m＞-

1

2

．
（3）由題意可知

1

2

×

2m+1

2

=-

5+4m

4

解得m=-1．
因此拋物線的解析式為y=x²+x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，將二次函數(shù)的解析式化為頂點(diǎn)式進(jìn)行求解是解題的基本思路．