Question

（1998•四川）已知一次函數(shù)y=kx+4的圖象分別與直線x=2和x=6交于點A、B，且y隨x的增大而增大，直線x=2和x=6又分別與x軸交于點D、C．
（1）要使四邊形ABCD的面積大于6，且小于64，試求k的取值范圍；
（2）設一次函數(shù)y=kx+4的圖象與x軸相交于點E，△BCE的外心P在第一象限，且到x軸與y軸的距離的和為6，求這個一次函數(shù)的解析式，并在直角坐標系內(nèi)畫出草圖．

Answer 1

分析：（1）將x=2，x=6分別代入y=kx+4求出DA、CB，再根據(jù)梯形的面積公式求出梯形的面積；
（2）作OF⊥x軸于F，OG⊥y軸于G，根據(jù)CF=FE和O到x軸和y軸的距離之和為6，列出方程組求出k的值．

解答：解：如圖，
（1）當x=2時，DA=2k+4，當x=6時，BC=6k+4，S_{四邊形ABCD}=CD（AD+BC）=4（2k+4）（6k+4）=16k+16，
∵四邊形ABCD的面積大于6，且小于64，
∴6＜16k+16＜64，
∴-

5

8

＜k＜3；
（2）作OF⊥x軸于F，OG⊥y軸于G，
設O點坐標為（x，y），則O（x，kx+4），
根據(jù)垂徑定理可知，CF=FE，
則有6-x=x-（-

4

k

），
又∵O到x軸和y軸的距離之和為6，
∴x+kx+4=6，
組成方程組為

6-x=x+ 4 k kx+x=2

，
整理，得3k²-k-2=0，
解得k₁=1，k₂=-

2

3

．
由于y隨x的增大而增大，則k=1，函數(shù)解析式為y=x+4．

點評：本題考查了一次函數(shù)與圓相結(jié)合的問題，同時涉及垂徑定理、梯形的面積公式等問題，綜合性較強．