Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，對角線AC與BD相交于點O，∠BOC=
120°，AD=2，BC=4．
求：等腰梯形ABCD的面積．

Answer 1

分析：首先過點A作AE⊥BC于E，過點D作DF⊥BC于F，即可得四邊形AEFD是矩形，則可求得BE與EC的長，根據(jù)SAS證得△ABC≌△DCB，即可求得∠ACE的度數(shù)，然后即可求得高AE的長，則可求得等腰梯形ABCD的面積．

解答：解：過點A作AE⊥BC于E，過點D作DF⊥BC于F，
∵AD∥BC，
∴∠AEF=∠DFE=∠ADF=90°，
∴四邊形AEFD是矩形，
∴EF=AD=2，
在Rt△AEB和Rt△DFC中，

AB=DC AE=DF

，
∴Rt△AEB≌Rt△DFC（HL），
∴BE=FC=

1

2

（BC-AD）=1，
∴EC=3，
∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ABC=∠DCB，
在△ABC與△DCB中，

AB=DC ∠ABC=∠DCB BC=CB

，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
∴∠ACB=∠DBC，
∵∠BOC=120°，
∴∠ACB=30°，
∴AE=EC•tan∠ACE=3×

3

3

=

3

，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）•AE=

1

2

×（2+4）×

3

=3

3

．

點評：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．