Question

已知：如圖，在半徑為4的⊙O中，AB、CD是兩條直徑，M為OB的中點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，且EM＞MC．連接DE，DE=

15

．
（1）求證：AM•MB=EM•MC；
（2）求EM的長(zhǎng)；
（3）求sin∠EOB的值．

Answer 1

分析：（1）連接A、C，E、B點(diǎn)，那么只需要求出△AMC和△EMB相似，即可求出結(jié)論，根據(jù)圓周角定理可推出它們的對(duì)應(yīng)角相等，即可得△AMC∽△EMB；
（2）根據(jù)圓周角定理，結(jié)合勾股定理，可以推出EC的長(zhǎng)度，根據(jù)已知條件推出AM、BM的長(zhǎng)度，然后結(jié)合（1）的結(jié)論，很容易就可求出EM的長(zhǎng)度；
（3）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，通過(guò)作輔助線，解直角三角形，結(jié)合已知條件和（1）（2）所求的值，可推出Rt△EOF各邊的長(zhǎng)度，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，便可求得sin∠EOB的值．

解答：（1）證明：連接AC、EB，
∵∠A=∠BEC，∠B=∠ACM，
∴△AMC∽△EMB，
∴

AM

CM

=

EM

BM

，
∴AM•BM=EM•CM；

（2）解：∵DC是⊙O的直徑，
∴∠DEC=90°，
∴DE²+EC²=DC²，
∵DE=

15

，CD=8，且EC為正數(shù)，
∴EC=7，
∵M(jìn)為OB的中點(diǎn)，
∴BM=2，AM=6，
∵AM•BM=EM•CM=EM（EC-EM）=EM（7-EM）=12，且EM＞MC，
∴EM=4；

（3）解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，
∵OE=4，EM=4，
∴OE=EM，
∴OF=FM=1，
∴EF=

42-12

=

15

，
∴sin∠EOB=

15

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義、勾股定理的知識(shí)點(diǎn)，本題關(guān)鍵根據(jù)已知條件和圖形作好輔助線，結(jié)論就很容易求證了．