Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²+(m+3)x+m+1=0．
⑴求證：無(wú)論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
⑵若x₁，x₂是原方程的兩根，且，求m的值，并求出此時(shí)方程的兩根．

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析；（2）m=-3時(shí)，x₁=，x₂=-；m=1時(shí)，x₁=-2+，x₂=-2-.

試題分析：（1）根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x²+（m+3）x+m+1=0的根的判別式△=b²-4ac的符號(hào)來(lái)判定該方程的根的情況；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得x₁+x₂=-（m+3），x₁•x₂=m+1；然后由已知條件“|x₁-x₂|=”可以求得（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=8，從而列出關(guān)于m的方程，通過(guò)解該方程即可求得m的值；最后將m值代入原方程并解方程．
試題解析：（1）證明：∵△=（m+3）²-4（m+1）=（m+1）²+4
∵無(wú)論m取何值，（m+1）²+4恒大于0
∴原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
（2）∵x₁，x₂是原方程的兩根
∴x₁+x₂=-（m+3），x₁•x₂=m+1…5分
∵|x₁-x₂|=
∴（x₁-x₂）²=（）²
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=8
∴[-（m+3）]²-4（m+1）=8∴m²+2m-3=0
解得：m₁=-3，m₂=1
當(dāng)m=-3時(shí)，原方程化為：x²-2=0
解得：x₁=，x₂=-
當(dāng)m=1時(shí)，原方程化為：x²+4x+2=0
解得：x₁=-2+，x₂=-2-
考點(diǎn): 1.根的判別式；2.根與系數(shù)的關(guān)系．