Question

【題目】我們知道：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為三角形的內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心).現(xiàn)在規(guī)定：如果四邊形的四個(gè)角的角平分線交于一點(diǎn)，我們把這個(gè)點(diǎn)也成為“四邊形的內(nèi)心”.

(1)試舉出一個(gè)有內(nèi)心的四邊形.

(2)如圖1，已知點(diǎn)O是四邊形ABCD的內(nèi)心，求證：AB+CD=AD+BC.

(3)如圖2，Rt△ABC中，∠C=90°.O是△ABC的內(nèi)心.若直線DE截邊AC、BC于點(diǎn)D.E，且O仍然是四邊形ABED的內(nèi)心.這樣的直線DE可畫(huà)多少條?請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出一條符合條件的直線DE，并簡(jiǎn)單說(shuō)明作法.

(4)問(wèn)題(3)中，若AC=3，BC=4，滿足條件的一條直線DE∥AB，求DE的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）菱形;（2）證明見(jiàn)解析;（3）無(wú)數(shù)條；畫(huà)圖，說(shuō)明作法見(jiàn)解析；（4）DE=

【解析】

（1）根據(jù)菱形的每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，可得答案；

（2）根據(jù)內(nèi)心是各角角平分線的交點(diǎn)，可得∠EAO=∠FAO，根據(jù)HL，可得Rt△AEO和Rt△AFO的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得AE與AF的關(guān)系，同理可得BF與BG，CG與CH，DH與DE的關(guān)系，根據(jù)等式的性質(zhì)，可得答案；

（3）根據(jù)四邊形內(nèi)心的意義，可得答案；

（4）根據(jù)勾股定理，可得AB的長(zhǎng)，根據(jù)面積相等，可得CG的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得方程，根據(jù)比例的性質(zhì)，可得方程的解，可得答案．

解：（1）∵菱形的每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，

∴菱形是一個(gè)有內(nèi)心的四邊形；

（2）作OE⊥AD于E，OF⊥AB與于F，CG⊥BC于G，OH⊥CD于H，則∠AEO=∠AFO=90°.

∵O是四邊形ABCD的內(nèi)心，

∴∠EAO=∠FAO .

在Rt△AEO和Rt△AFO中，

∴Rt△AEO≌Rt△AFO（HL），

∴AE=AF，

同理：BF=BG，CG=CH，DH=DE，

∴AE+DE+BG+CG=AF+BF+CH+DH，

即：AD+BC=AB+CD；

（3）有無(wú)數(shù)條，

作△ABC的內(nèi)切圓圓O，切AC、BC于M、N，在弧MN上取一點(diǎn)F，作過(guò)F點(diǎn)作圓O的切線，交AB于E，交AC于D，沿DE剪裁，

（4）作CG⊥AB與點(diǎn)G，

由勾股定理得：AB=，

∵，

∴CG=2.4，

設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，則r= (AC+BCAB)＝ (3+45)=1，

∵DE∥AB，

∴△CDE∽△CAB，

∴，

∴，

∴DE＝．