Question

【題目】（1）觀察發(fā)現(xiàn)：如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，點(diǎn)D在邊AB上，過(guò)D作DE∥BC交AC于E，AB＝5，AD＝3，AE＝4．填空：

①△ABC與△ADE是否相似？（直接回答）　 　；

②AC＝　 　；DE＝　 　．

（2）拓展探究：將△ADE繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，猜想△ADB與△AEC是否相似？若不相似，說(shuō)明理由；若相似，請(qǐng)證明．

（3）遷移應(yīng)用：將△ADE繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B、D、E在同一條直線(xiàn)上時(shí)，直接寫(xiě)出線(xiàn)段BE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①相似；②；；（2）△ADB∽△AEC；（3）4+或4﹣．

【解析】

(1)①根據(jù)相似三角形的判定定理解答；

②根據(jù)勾股定理求出DE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，求出AC；

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到∠BAD＝∠CAE，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等的兩個(gè)三角形相似證明；

(3)根據(jù)勾股定理求出BD，分兩種情況計(jì)算即可．

解：（1）①∵DE∥BC，

∴△ABC∽△ADE，

故答案為：相似；

②∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠B＝90°，

∴DE＝＝，

∵△ABC∽△ADE，

∴ ，即，

解得，AC＝，

故答案為：；；

（2）△ADB∽△AEC，

理由如下：由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，∠BAD＝∠CAE，

由（1）得，，又∠BAD＝∠CAE，

∴△ADB∽△AEC；

（3）如圖2，在Rt△ADB中，BD＝＝4，

∵點(diǎn)B、D、E在同一條直線(xiàn)上，

∴BE＝BD+DE＝4+，

如圖3，BE＝BD﹣DE＝4﹣，

綜上所述，將△ADE繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B、D、E在同一條直線(xiàn)上時(shí)，線(xiàn)段BE的長(zhǎng)為4+ 或4﹣．