Question

如圖，矩形紙片ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，E為BC上一點(diǎn)，將紙片沿AE翻折，使點(diǎn)E與CD邊上的點(diǎn)F重合．
（1）求線(xiàn)段EF的長(zhǎng)；
（2）若線(xiàn)段AF上有動(dòng)點(diǎn)P（不與A、F重合），如圖（2），點(diǎn)P自點(diǎn)A沿AF方向向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PM∥EF，PM交AE于M，連接MF，設(shè)AP=x（cm），△PMF的面積為y（cm）²，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在題（2）的條件下，△FME能否是等腰三角形？若能，求出AP的值，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)知AB=AF=10cm，可在Rt△ADF中根據(jù)勾股定理求出DF的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出CF的值；在Rt△CEF中，根據(jù)折疊的性質(zhì)知BE=EF，可用EF表示出CE，進(jìn)而由勾股定理求出EF的長(zhǎng)；
（2）由于PM∥EF，而∠AFE=∠ABE=90°，因此PM⊥AF；在（1）中已經(jīng)求得AF、EF的長(zhǎng)，易證得△APM∽△AFE，根據(jù)相似三角形所得比例線(xiàn)段即可求得PM的表達(dá)式；知道了Rt△PMF兩條直角邊的長(zhǎng)，即可求出其面積，由此可得到關(guān)于y、x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在Rt△PMF中，根據(jù)PM、MF的表達(dá)式，即可由勾股定理求得MF的表達(dá)式；若△FME是等腰三角形，則可能有三種情況：①M(fèi)F=ME，②MF=EF，③ME=EF；可根據(jù)上述三種情況所得不同等量關(guān)系求出x的值．

解答：解：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)知：∠ABE=∠AFE=90°，AB=AF=10cm，EF=BE；
Rt△ADF中，AF=10cm，AD=8cm；由勾股定理得：DF=6cm；
∴CF=CD-DF=10-6=4cm；
在Rt△CEF中，CE=BC-BE=BC-EF=8-EF，由勾股定理得：
EF²=CF²+CE²，即EF²=4²+（8-EF）²，解得EF=5cm；

（2）∵PM∥EF，
∴PM⊥AF，△APM∽△AFE；
∴

PM

EF

=

AP

AF

，即

PM

5

=

x

10

，PM=

x

2

；
在Rt△PMF中，PM=

x

2

，PF=10-x；
則S_△PMF=

1

2

（10-x）•

x

2

=-

1

4

x²+

5

2

x；（0＜x＜10）

（3）在Rt△PMF中，由勾股定理，得：
MF=

PM2+FP2

=

5 4 x2-20x+100

；
同理可求得AE=

AB2+BE2

=5

5

，AM=

AP2+PM2

=

5

2

x；
∴ME=5

5

-

5

2

x；
若△FME能否是等腰三角形，則有：
①M(fèi)F=ME，則MF²=ME²，即：

5

4

x²-20x+100=（5

5

-

5

2

x）²，解得x=5；
②MF=EF，則MF²=EF²，即：

5

4

x²-20x+100=25，化簡(jiǎn)得：x²-16x+60=0，解得x=6，x=10（舍去）；
③ME=EF，則有：
5

5

-

5

2

x=5，解得x=10-2

5

；
綜上可知：當(dāng)AP的長(zhǎng)為5cm或6cm或（10-2

5

）cm時(shí)，△FME是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的性質(zhì)、圖形的折疊變換、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及等腰三角形的判定等重要知識(shí)點(diǎn)，在等腰三角形的腰和底不明確的情況下，一定要分類(lèi)討論，以免漏解．