Question

如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG均為正方形，連接BG與DE相交于點H．
（1）證明：△ABG≌△ADE；
（2）試猜想∠BHD的度數(shù)，并說明理由；
（3）將圖中正方形ABCD繞點A逆時針旋轉（0°＜∠BAE＜180°），設△ABE的面積為S₁，△ADG的面積為S₂，判斷S₁與S₂的大小關系，并給予證明．

Answer 1

分析：（1）因為ABCD和AEFG為正方形，所以∠GAE=∠BAD=90°，等號兩邊都加上∠EAB，得到∠GAB=∠EAD，且AG=AE，AD=AB，利用“SAS”即可得證；
（2）∠BHD=90°，理由是：由（1）得出的三角形全等，得到∠ADE與∠ABG相等，再根據(jù)對頂角相等，由兩對角相等的三角形相似得到△AND與△HNB相似，由相似三角形的對應角相等得到∠BHD與∠BAD相等，而根據(jù)正方形ABCD得到∠BAD為90°，故∠BHD=90°；
（3）根據(jù)旋轉角∠BAE為銳角，直角及鈍角分為三種情況考慮：①當∠BAE為銳角時，如圖所示，過點B作BM⊥直線AE于點M，過點D作DN⊥直線AG于點N．根據(jù)同角的余角相等得到∠MAB=∠NAD，由正方形的性質得到AB=AD，再由垂直得到一對直角相等，利用“AAS”得到△AND≌△AMB，根據(jù)全等三角形的對應邊相等得到DN=BM，又AE=AG，根據(jù)等底等高的兩三角形面積相等得S₁與S₂相等；②當∠BAE為直角時，如圖所示，利用“SAS”得到△AGD與△ABE全等，故面積相等；③當∠BAE為鈍角時，如圖所示，根據(jù)①的思路，同理得到S₁與S₂相等，綜上所述，在（3）的條件下，總有S₁=S₂．

解答：（1）證明：在正方形ABCD和正方形AEFG中，
∵∠GAE=∠BAD=90°，
∴∠GAE+∠EAB=∠BAD+∠EAB，
即∠GAB=∠EAD，
又AG=AE，AB=AD，
∴△ABG≌△ADE；                   

（2）猜想∠BHD=90°．理由如下：
設：AB和DE交于點N，
∵正方形ABCD，
∴∠BAD=90°，
又∵△ABG≌△ADE，
∴∠ABG=∠ADE，又∠AND=∠BNH，
∴△AND∽△HNB，
則∠BHD=∠BAD=90°；（7分）

（3）證明：當正方形ABCD繞點A逆時針旋轉0°＜∠BAE＜180°時，S₁和S₂總保持相等．（8分）
證明如下：由于0°＜∠BAE＜180°分三種情況：
①當0°＜∠BAE＜90°時 （如圖所示）
過點B作BM⊥直線AE于點M，過點D作DN⊥直線AG于點N，
∵∠MAN=∠BAD=90°，
∴∠MAB+∠BAN=90°，∠BAN+∠DAN=90°，
∴∠MAB=∠DAN，
又∠AMB=∠AND=90°，且AB=AD，
∴△AND≌△AMB，
∴BM=DN，又AE=AG，
∴

1

2

AE•BM=

1

2

AG•DN，
∴S₁=S₂；（9分）

②當∠BAE=90°時，如圖所示：
∵AE=AG，∠BAE=∠DAG=90°，AB=AD，
∴△ABE≌△ADG，
∴S₁=S₂；（10分）

③當90°＜∠BAE＜180°時 如圖所示：
過點B作BM⊥直線AE于點M，過點D作DN⊥直線AG的延長線于點N．
∵∠MAN=∠BAD=90°，
∴∠MAB+∠DAM=90°，∠DAN+∠DAM=90°，
∴∠MAB=∠NAD，
由正方形ABCD，得到∠AMB=∠AND=90°，且AB=AD，
∴△AMB≌△AND，
∴BM=DN，又AE=AG，
∴

1

2

AE•BM=

1

2

AG•DN，
∴S₁=S₂，
綜上所述，在（3）的條件下，總有S₁=S₂．（11分）

點評：此題綜合考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，以及旋轉的知識．學生作第三問時注意利用分類討論及數(shù)形結合的數(shù)學思想解決問題，在證明時注意運用等底等高的兩三角形面積相等這個性質．