Question

【題目】如圖，、是的兩條半徑，，點在上，與交于點，點在的延長線上，且.

（1）求證：是的切線;

（2）當，時，直接寫出的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）CD=.

【解析】

（1）連接OC，利用等邊對等角和直角三角形的兩銳角互余證得OC⊥CE即可得出結(jié)論；

（2）在Rt△AOD中求得∠ADO=90°，進而得出∠EDC=90°，根據(jù)等邊三角形的判定可得△ECD是等邊三角形，得出∠E=60°，然后在Rt△OCE中利用三角函數(shù)求出CE的長，即可得出CD的長．

（1）證明：連接OC.

∵OA=OC,

∴∠A=∠OCD.

∵OA⊥OB,

∴∠AOB=90°.

∴∠A+∠ADO=90°.

∵CE=DE,

∴∠EDC=∠ECD=∠ADO.

∴∠OCD+∠ECD=90°.

∴OC⊥CE.

∵點C在⊙O上,

∴CE是⊙O的切線.

（2）解：∵OA⊥OB，

∴∠AOB=90°，

∴∠ADO=90°-∠A=90°-30°=60°，

∴∠EDC=∠ADO=60°，

∵CE=DE，

∴△ECD是等邊三角形，

∴CD=CE，∠E=60°．

在Rt△OCE中，

CE===．

∴CD=CE=．