Question

【題目】如圖，A（6, 0），B（0, 4），點B關(guān)于x軸的對稱點為C點，點D在x軸的負(fù)半軸上，△ABD的面積是30.

（1）求點D坐標(biāo).

（2）若動點P從點B出發(fā)，沿射線BC運動，速度為每秒1個單位，設(shè)P的運動時間為t秒，△APC的面積為S，求S與t的關(guān)系式.

（3）在（2）的條件下，同時點Q從D點出發(fā)沿x軸正方向以每秒2個單位速度勻速運動，若點R在過A點且平行于y軸的直線上，當(dāng)△PQR為以PQ為直角邊的等腰直角三角形時，求滿足條件的t值，并直接寫出點R的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（-9，0）；（2）當(dāng)0＜t≤8時，S=×（8-t）×6=-3t+24；當(dāng)t＞8時，S=×（t-8）×6=3t-24；（3）t=10秒或11秒或17秒時，△PQR是等腰直角三角形．

【解析】

（1）根據(jù)三角形面積公式求出AD即可．
（2）分兩種情形①當(dāng)0＜t≤8時，②當(dāng)t＞8時，求出△PAC面積即可．
（3）分三種情形①如圖1中，當(dāng)∠QPR=90°，PQ=PR時，作RH⊥OP于H，②如圖2中，當(dāng)∠PQR=90°，QR=PQ時，③如圖3中，當(dāng)∠QRP=90°，QR=PR，利用全等三角形的性質(zhì)列出方程即可解決．

解：（1）∵A（6，0），B（0，4），△ABD的面積是30，

∴ADBO=30，
∴AD4=30，
∴AD=15，
∴OD=9，
∴點D坐標(biāo)為（-9，0）．

（2）∵點B（0，4）關(guān)于x軸的對稱點為C點，
∴點C坐標(biāo)（0，-4），
∴當(dāng)0＜t≤8時，S=×（8-t）×6=-3t+24，
當(dāng)t＞8時，S=×（t-8）×6=3t-24．

（3）①如圖1中，

圖1

當(dāng)∠QPR=90°，PQ=PR時，作RH⊥OP于H，
∵∠QPO+∠RPH=90°，∠QPO+∠PQO=90°，
∴∠PQO=∠RPH，
在△PQO和△RPH中，

∴△PQO≌RPH，
∴RH=PO，
∵四邊形AOHR是矩形，
∴RH=AO=6，
∴OP=6，
∴t-4=6，
∴t=10．

②如圖2中，

圖2

當(dāng)∠PQR=90°，QR=PQ時，
∵∠RQA+∠OQP=90°，∠OQP+∠OPQ=90°，
∴∠RQA=∠OPQ，
在△ARQ和△OQP中，

∴△ARQ≌△OQP，
∴OP=AQ，
∴t-4=2t-15，
∴t=11．

③如圖3中，

圖3

當(dāng)∠QRP=90°，QR=PR，
∵∠RQA+∠PRH=90°，∠PRH+∠RPH=90°，/span>
∴∠QRA=∠RPH，
在△AQR和△HRP中，

∠QRA＝∠RPH

∠QAR＝∠RHP

QR＝PR

∴△AQR≌△HRP，
∴AQ=RH，AR=PH=AO=6，
∴OP=AH=RH-AR=AQ-AR=AQ-6
∴t-4=2t-15-6，
∴t=17．

綜上所述t=10秒或11秒或17秒時，△PQR是等腰直角三角形．