Question

（2013•安慶一模）閱讀下列解題過程，并解答后面的問題：
如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C為線段AB的中點(diǎn)，求C點(diǎn)的坐標(biāo)．
解：分布過A、C做x軸的平行線，過B、C做y軸的平行線，兩組平行線的交點(diǎn)如圖1所示．
設(shè)C（x₀，y₀），則D（x₀，y₁），E（x₂，y₁），F(xiàn)（x₂，y₀）
由圖1可知：x₀=

x2-x1

2

+x1=

x1+x2

2

y₀=

y2-y1

2

+x1=

y1+y2

2

∴（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）
問題：（1）已知A（-1，4），B（3，-2），則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為

（1，1）

．
（2）平行四邊形ABCD中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（1，-4），（0，2），（5，6），求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）如圖2，B（6，4）在函數(shù)y=

1

2

x+1的圖象上，A（5，2），C在x軸上，D在函數(shù)y=

1

2

x+1的圖象上，以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，直接寫出所有滿足條件的D點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）直接套用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可得出中點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)AC、BD的中點(diǎn)重合，可得出

xA+xC

2

=

xB+xD

2

，

yA+yC

2

=

yB+yD

2

，代入數(shù)據(jù)可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）分類討論，①當(dāng)AB為該平行四邊形一邊時(shí)，此時(shí)CD∥AB，分別求出以AD、BC為對(duì)角線時(shí)，以AC、BD為對(duì)角線的情況可得出點(diǎn)D坐標(biāo)；②當(dāng)AB為該平行四邊形的一條對(duì)角線時(shí)，根據(jù)AB中點(diǎn)與CD中點(diǎn)重合，可得出點(diǎn)D坐標(biāo)．

解答：解：（1）AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（

-1+3

2

，

4-2

2

）=（1，1）；

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：對(duì)角線互相平分，可知AC、BD的中點(diǎn)重合，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：

xA+xC

2

=

xB+xD

2

，

yA+yC

2

=

yB+yD

2

，
代入數(shù)據(jù)，得：

1+5

2

=

0+xD

2

，

-4+6

2

=

2+yD

2

，
解得：x_D=6，y_D=0，
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，0）．

（3）①當(dāng)AB為該平行四邊形一邊時(shí)，則CD∥AB，對(duì)角線為AD、BC或AC、BD；
故可得：

xA+xD

2

=

xB+xC

2

，

yA+yD

2

=

yB+yC

2

或

xA+xC

2

=

xB+xD

2

，

yA+yC

2

=

yB+yD

2

，
故可得y_C-y_D=y_A-y_B=2或y_D-y_C=y_A-y_B=2
∵y_C=0，
∴y_D=2或-2，
代入到y(tǒng)=

1

2

x+1中，可得D（2，2）或 D （-6，-2）．
當(dāng)AB為該平行四邊形的一條對(duì)角線時(shí)，則CD為另一條對(duì)角線；

xA+xB

2

=

xC+xD

2

；

yA+yB

2

=

yC+yD

2

，
y_C+y_D=y_A+y_B=2+4，
∵y_C=0，
∴y_D=6，
代入到y(tǒng)=

1

2

x+1中，可得D（10，6）
綜上，符合條件的D點(diǎn)坐標(biāo)為D（2，2）或 D（-6，-2）、D（10，6）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合題，涉及了中點(diǎn)坐標(biāo)公式、平行四邊形的性質(zhì)，難點(diǎn)在第三問，注意分類討論，不要漏解，難度較大．