Question

問題：你能比較兩個(gè)數(shù)2010²⁰¹¹和2011²⁰¹⁰的大小嗎？為了解決問題，我們先把它抽象成數(shù)學(xué)問題，寫出它的一般形式，即比較nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大�。╪是正整數(shù)），然后，從分析n=1，n=2，n=3，…這些簡(jiǎn)單情形入手，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)過歸納，猜想出結(jié)論：已通過計(jì)算，比較下列各組數(shù)中兩個(gè)數(shù)的大�。ㄌ睿�，＜，=）
①1²

＜

2¹；②2³

＜

3²；③3⁴

＞

4³；④4⁵

＞

5⁴；⑤5⁶

＞

6⁵
（1）從上面的結(jié)果經(jīng)過歸納，可以猜想出nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小關(guān)系是

當(dāng)n＜3時(shí)，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，當(dāng)n＞3時(shí)，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ

．
（2）根據(jù)上面的歸納猜想得到的一般結(jié)論，試比較下列兩個(gè)數(shù)的大�。�2010²⁰¹¹

＞

2011²⁰¹⁰．

Answer 1

分析：根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義分別進(jìn)行計(jì)算，再進(jìn)行比較即可；
（1）根據(jù)上述得出的答案分情況解答即可；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論解答即可．

解答：解：①1²=1，2¹=2，則1^2＜2¹；
②2³=8，3²=9，則2³＜3²；
③3⁴=81，4³=64，則3⁴＞4³；
④4⁵=1024，5⁴=625，則4⁵＞5⁴；
⑤5⁶＞6⁵；
故答案為：＜，＜，＞，＞，＞；
（1）從上面的結(jié)果經(jīng)過歸納，可以猜想出nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小關(guān)系是：
當(dāng)n＜3時(shí)，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
當(dāng)n＞3時(shí)，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；
故答案為：當(dāng)n＜3時(shí)，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，當(dāng)n＞3時(shí)，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；
（2）∵2010＞3，
∴2010²⁰¹¹＞2011²⁰¹⁰．
故答案為：＞．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了有理數(shù)的乘方，有理數(shù)的大小比較，理解有理數(shù)的乘方的意義準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．