Question

如圖①，點A（m，0）是x軸的上一點，且|n|+

m-1

=0．以O(shè)A為一邊，在第四象限內(nèi)作等邊△OAB．C是x軸負(fù)半軸上的一動點，連接CB，在CB的上方作等邊△DCB，直線DA交y軸于E點．
（1）求線段OA的長；
（2）當(dāng)C點在y軸的負(fù)半軸上運動時，線段AE的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請證明你的結(jié)論并求出AE的長．

（3）如圖②，F(xiàn)是點A關(guān)于y軸的對稱點，作直線FE．P是直線FE上的E點上方一動點，連接PA，在PA的左側(cè)作等邊△PAT，I是∠APT與∠PAT的角平分線的交點．當(dāng)點P運動時，點I是否總在y軸上運動？請判斷并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)被開方數(shù)不為負(fù)數(shù)，可知m-1=0，由此可得出m=1，那么A的坐標(biāo)應(yīng)該是A（1，0），由此即可求出OA的長度；
（2）要看AE是否會改變，只需看∠DAO的度數(shù)是否會改變，由于BC=DB，BA=OB，∠OBC=∠ABD=60°-∠OBD，因此△BOC和△BAD就全等，那么可得出∠DAB=∠BOC=120°，即∠OAD=60°，因此AE的長是不會變化的，且AE=2OA=2，由此即可解決問題；
（3）由于F，A關(guān)于y軸對稱，那么y軸應(yīng)該是∠FEA和它的對頂角的平分線，那么要看I是否在y軸上，只需看看I到AE，EF的距離是否相等即可，可過I分別作這兩條直線的垂線設(shè)為IM，IN，那么關(guān)鍵是證IM=IN，可通過構(gòu)建全等三角形來證明，連接PI，AI．那么關(guān)鍵是證三角形AIM和PIN全等，已知的有一組直角，PI=AI，只需再得出一組對應(yīng)角相等即可，由于三角形EAF是等邊三角形，因此∠MEN=60°，∠MIN=120°，而PI，AI都是角平分線且平分的都是60°的角，因此∠PIA=120°，那么這兩個120°角都減去∠AIN后可得出∠MIA=∠PIN，由此可得出兩三角形全等，那么IM=IN，因此I總在y軸上運動．

解答：解：（1）∵|n|+

m-1

=0，
又|n|＞0，

m-1

≥0，
∴m-1=0，
∴m=1，
∴A（1，0），
∴OA=1；

（2）答：AE的長度不變．
證明：∵△OAB是等邊三角形，
∴BO=BA，∠OBA=60°，
又∵△BCD是等邊三角形，
∴BC=BD，∠CBD=60°，
∴∠OBA=∠CBD=60°，
∴∠OBA-∠OBD=∠CBD-∠OBD，
∴∠ABD=∠OBC，
在△ABD和△OBC中，

AB=OB ∠ABD=∠OBC BD=BC

，
可得△ABD≌△OBC（SAS），
∴∠ADB=∠OCB，又∠AFD=∠BFC，
可得∠DAO=∠DBC=60°，
∵EO⊥OA，即∠AOE=90°，
∴∠AEO=30°，
可得AE=2OA=2，
即當(dāng)C點在x軸負(fù)半軸上運動時，AE的長度不變；

（3）答：點I總在y軸上運動．
證明：連接IA，IP，過I點作IM⊥AE，IN⊥FE，M，N分別為垂足．
易得△EFA為等邊三角形，
∴∠MEN=∠FEA=60°，
∴∠MIN=120°
又∵IA，IP分別是∠TAP與∠TPA的角平分線，
可得∠AIP=120°，IA=IP
∴∠MIA=∠NIP
∴△MIA≌△NIP
∴IM=IN
∴點I在∠MEN的平分線上，
∵根據(jù)對頂角相等，∠MEI=∠OEA=∠NEI=∠OEF=30°，則y軸是∠MEN的平分線所在的直線
∴當(dāng)點P運動時，點I總在y軸上運動．

點評：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定等知識點，根據(jù)全等三角形得出邊和角相等是解題的關(guān)鍵．