Question

探究學(xué)習(xí)：探索勾股定理時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)“用不同的方式表示同一圖形的面積”可以解決線段和（或差）的有關(guān)問(wèn)題，這種方法稱為面積法．請(qǐng)你運(yùn)用面積法求解下列問(wèn)題：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD為腰AC上的高（如圖1）．
（1）若等腰△ABC的面積為24 cm²，腰的長(zhǎng)為8 cm，則腰AC上的高BD的長(zhǎng)為_(kāi)_____cm；
（2）若BD=h，M是直線BC上的任意一點(diǎn)，M到AB、AC的距離分別為h₁、h₂．
①若M在線段BC上，請(qǐng)你結(jié)合圖2證明：h₁+h₂=h；
②當(dāng)點(diǎn)M在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，h₁、h₂、h之間的關(guān)系為_(kāi)_____．（直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明）

Answer 1

解：（1）∵S_△ABC=AC•BD=×8×BD=24，
∴BD=24÷8×2=6；

（2）
①過(guò)M作MG⊥BD，交BD與點(diǎn)G，則MF=DG，MG∥CD，
∴∠GMB=∠C，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠GMB=∠ABC，
又∵∠MGB=∠BEM=90°，BM=MB，
∴△BME≌△MBG（AAS），
∴BG=ME．
即BD=BG+DG=ME+MF，
∴h₁+h₂=h；

②|h₁-h₂|=h．
分析：（1）利用三角形的面積公式可得，腰AC上的高BD=面積÷AC×2；
（2）過(guò)M作MG⊥BD，交BD與點(diǎn)G，則可證MF=DG；再證△BME≌△MBG，得BG=ME．即BD=BG+DG=ME+MF；
（3）可采用和（2）類似的方法，畫(huà)圖作輔助線，經(jīng)過(guò)證明三角形全等，得出h₁-h₂=h．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合性較強(qiáng)，考查了三角形的面積、全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，要熟練掌握并靈活應(yīng)用這些知識(shí)．