
(2013•黃埔區(qū)一模)

如圖,Rt△ADE可由Rt△CAB旋轉(zhuǎn)而成,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是E,點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是D,點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為(3,0),(1,4).
(1)寫出點(diǎn)E的坐標(biāo),并利用尺規(guī)作圖直接在圖中作出旋轉(zhuǎn)中心Q(保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)求直線AE對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(3)將△ADE沿垂直于x軸的線段PT折疊,(點(diǎn)T在x軸上,點(diǎn)P在AE上,P與A、E不重合)如圖,使點(diǎn)A落在x軸上,點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F.設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x,0),△PTF與△ADE重疊部分的面積為S.
①試求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式(包括自變量x的取值范圍);
②當(dāng)x為何值時,S的面積最大?最大值是多少?
③是否存在這樣的點(diǎn)T,使得△PEF為直角三角形?若存在,直接寫出點(diǎn)T的坐標(biāo);若不存在,請說有理由.