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        1. (2013•黃埔區(qū)一模)如圖,Rt△ADE可由Rt△CAB旋轉(zhuǎn)而成,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是E,點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是D,點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為(3,0),(1,4).
          (1)寫出點(diǎn)E的坐標(biāo),并利用尺規(guī)作圖直接在圖中作出旋轉(zhuǎn)中心Q(保留作圖痕跡,不寫作法);
          (2)求直線AE對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
          (3)將△ADE沿垂直于x軸的線段PT折疊,(點(diǎn)T在x軸上,點(diǎn)P在AE上,P與A、E不重合)如圖,使點(diǎn)A落在x軸上,點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F.設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x,0),△PTF與△ADE重疊部分的面積為S.
          ①試求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式(包括自變量x的取值范圍);
          ②當(dāng)x為何值時,S的面積最大?最大值是多少?
          ③是否存在這樣的點(diǎn)T,使得△PEF為直角三角形?若存在,直接寫出點(diǎn)T的坐標(biāo);若不存在,請說有理由.
          分析:(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等,可知△ABC≌△DEA,則AB=DE=2,AC=DA=4,由此求出點(diǎn)E的坐標(biāo);根據(jù)對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等可知旋轉(zhuǎn)中心Q既在線段AD的垂直平分線上,又在線段BE的垂直平分線上,為此,作出線段AD與線段BE的垂直平分線,它們的交點(diǎn)即為Q;
          (2)設(shè)直線AE的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,將A、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入,運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出;
          (3)①分兩種情況:(i)當(dāng)點(diǎn)F在AD之間時,1<x≤3,重疊部分是△PTF,由S△PTF=
          1
          2
          TF•PT=
          1
          2
          AT•PT,可求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式;(ii)當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D的右邊時,3<x<5,重疊部分是梯形PTDH,由S梯形PTDH=
          1
          2
          (PT+HD)•TD,可求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
          ②分兩種情況:(i)1<x≤3;(ii)3<x<5,由①中所求的S與x之間的二次函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),結(jié)合自變量的取值范圍,即可求解;
          ③由于tan∠EAD=
          1
          2
          ,所以∠EAD≠45°,∠APT≠45°,∠APF≠90°,則∠EPF≠90°,當(dāng)△PEF為直角三角形時,分兩種情況進(jìn)行討論:(i)當(dāng)△PFE以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)時,作EF⊥AE交x軸于F,由△AED∽△EFD,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的邊相等列出比例式,即可求解;(ii)當(dāng)△P′F′E以點(diǎn)F′為直角頂點(diǎn)時,由△AED∽△EF′D,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的邊相等列出比例式,即可求解.
          解答:解:(1)∵Rt△ADE可由Rt△CAB旋轉(zhuǎn)而成,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是E,點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是D,
          ∴△ADE≌△CAB,
          ∴AD=CA=4,DE=AB=2,
          ∴OD=OA+AD=1+4=5,
          ∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(5,2).
          連接BE,作出線段AD與線段BE的垂直平分線,它們的交點(diǎn)即為Q;                

          (2)設(shè)直線AE對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,
          ∵A(1,0),E(5,2),
          k+b=0
          5k+b=2
          ,解得
          k=
          1
          2
          b=-
          1
          2
          ,
          ∴直線AE對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=
          1
          2
          x-
          1
          2


          (3)①分兩種情況:
          (i)當(dāng)點(diǎn)F在AD之間時,重疊部分是△PTF,如圖.
          ∵點(diǎn)P在AE:y=
          1
          2
          x-
          1
          2
          上,PT⊥x軸,點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x,0),
          ∴PT=
          1
          2
          x-
          1
          2

          ∵OT=x,OA=1,
          ∴AT=OT-OA=x-1,
          ∴TF=AT=x-1.
          ∵S△PTF=
          1
          2
          TF•PT=
          1
          2
          AT•PT=
          1
          2
          (x-1)•(
          1
          2
          x-
          1
          2
          )=
          1
          4
          (x-1)2
          ∴S=
          1
          4
          x2-
          1
          2
          x+
          1
          4

          ∵當(dāng)F與D重合時,AT=
          1
          2
          AD=2,
          ∴1<x≤3;
          (ii)當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D的右邊時,重疊部分是梯形PTDH.
          ∵∠DFH=∠DAE,∠FDH=∠ADE=90°,
          ∴△FDH∽△ADE,
          HD
          DF
          =
          ED
          AD
          =
          1
          2
          ,
          ∴HD=
          1
          2
          DF=
          1
          2
          [2(x-1)-4]=x-3,
          ∴S梯形PTDH=
          1
          2
          (PT+HD)•TD=
          1
          2
          1
          2
          x-
          1
          2
          +x-3)•(5-x)=-
          3
          4
          x2+
          11
          2
          x-
          35
          4

          當(dāng)T與D重合時,點(diǎn)F的坐標(biāo)是(9,0),
          ∴3<x<5.
          綜上所述,S=
          1
          4
          x2-
          1
          2
          x+
          1
          4
           (0<x≤3)
          -
          3
          4
          x2+
          11
          2
          x-
          35
          4
           (3<x<5)
          ;

          ②(i)當(dāng)1<x≤3時,∵S=
          1
          4
          (x-1)2,
          ∴S隨x的增大而增大,
          ∴當(dāng)x=3時,S有取大值,且最大值是S=
          1
          4
          (3-1)2=1;
          (ii)當(dāng)3<x<5時,∵S=-
          3
          4
          x2+
          11
          2
          x-
          35
          4
          =-
          3
          4
          (x-
          11
          3
          2+
          4
          3
          ,
          ∴當(dāng)x=
          11
          3
          時,S有最大值,且最大值是
          4
          3

          綜上所述,當(dāng)x=
          11
          3
          時,S有最大值,且最大值是S=
          4
          3
          ;

          ③存在這樣的點(diǎn)T(
          7
          2
          ,0)和(
          5
          2
          ,0),能夠使得△PEF為直角三角形.
          分兩種情況:
          (i)當(dāng)△PFE以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)時,如圖,作EF⊥AE交x軸于F.
          ∵△AED∽△EFD,
          DF
          ED
          =
          ED
          AD
          =
          1
          2
          ,
          ∴DF=
          1
          2
          DE=1,
          ∴點(diǎn)F(6,0),
          ∴點(diǎn)T(
          7
          2
          ,0);
          (ii)當(dāng)△P′F′E以點(diǎn)F′為直角頂點(diǎn)時,如圖.
          ∵△AED∽△EF′D,
          DF′
          DE
          =
          DE
          AD
          =
          1
          2
          ,
          ∴DF′=
          1
          2
          DE=1,
          ∴點(diǎn)F′(4,0),
          ∴點(diǎn)T(
          5
          2
          ,0).
          綜上(i)、(ii)知,滿足條件的點(diǎn)T坐標(biāo)為(
          7
          2
          ,0)和(
          5
          2
          ,0).
          點(diǎn)評:本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),線段垂直平分線的畫法,運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式,圖形面積的求法,二次函數(shù)的性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),綜合性較強(qiáng),有一定難度.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合及分類討論思想是解題的關(guān)鍵.
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