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        1. 如圖所示,現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD,點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合)將正方形紙片折疊,使點(diǎn)B落在P處,點(diǎn)C落在G處,PG交DC于H,折痕為EF,連接BP、BH.
          (1)求證:∠APB=∠BPH;
          (2)當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí),△PDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化?并證明你的結(jié)論;
          (3)設(shè)AP為x,四邊形EFGP的面積為S,求出S與x的函數(shù)關(guān)系式,試問(wèn)S是否存在最小值?若存在,求出這個(gè)最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

          【答案】分析:(1)根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出∠PBC=∠BPH,進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出∠APB=∠PBC即可得出答案;
          (2)首先證明△ABP≌△QBP,進(jìn)而得出△BCH≌△BQH,即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8;
          (3)利用已知得出△EFM≌△BPA,進(jìn)而利用在Rt△APE中,(4-BE)2+x2=BE2,利用二次函數(shù)的最值求出即可.
          解答:(1)解:如圖1,∵PE=BE,
          ∴∠EBP=∠EPB.
          又∵∠EPH=∠EBC=90°,
          ∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP.
          即∠PBC=∠BPH.
          又∵AD∥BC,
          ∴∠APB=∠PBC.
          ∴∠APB=∠BPH.

          (2)△PHD的周長(zhǎng)不變?yōu)槎ㄖ?.
          證明:如圖2,過(guò)B作BQ⊥PH,垂足為Q.
          由(1)知∠APB=∠BPH,
          在△ABP和△QBP中
          ∴△ABP≌△QBP(AAS).
          ∴AP=QP,AB=BQ.
          又∵AB=BC,
          ∴BC=BQ.
          又∵∠C=∠BQH=90°,BH=BH,
          ∴△BCH≌△BQH.
          ∴CH=QH.
          ∴△PHD的周長(zhǎng)為:PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8.

          (3)如圖3,過(guò)F作FM⊥AB,垂足為M,則FM=BC=AB.
          又∵EF為折痕,
          ∴EF⊥BP.
          ∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°,
          ∴∠EFM=∠ABP.
          又∵∠A=∠EMF=90°,
          ∴△EFM≌△PBA(ASA).
          ∴EM=AP=x.
          ∴在Rt△APE中,(4-BE)2+x2=BE2
          解得,

          又∵折疊的性質(zhì)得出四邊形PEFG與四邊形BEFC全等,

          即:
          配方得,,
          ∴當(dāng)x=2時(shí),S有最小值6.
          點(diǎn)評(píng):此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理、二次函數(shù)的最值問(wèn)題等知識(shí),熟練利用全等三角形的判定得出對(duì)應(yīng)相等關(guān)系是解題關(guān)鍵.
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          (1)求證:∠APB=∠BPH;
          (2)當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí),△PDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化?并證明你的結(jié)論;
          (3)設(shè)AP為x,四邊形EFGP的面積為S,求出S與x的函數(shù)關(guān)系式,試問(wèn)S是否存在最小值?若存在,求出這個(gè)最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          (1)求證:∠APB=∠BPH;
          (2)設(shè)AP為x,四邊形EFGP的面積為S,求出S與x的函數(shù)關(guān)系式,試問(wèn)S是否存在最小值?若存在,求出這個(gè)最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          (1)求證:∠APB=∠BPH;

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          (1)求證:∠APB=∠BPH;

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