Question

【題目】某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為解決抗旱問題，要在一河道上建一座水泵站，分別向河的同一側(cè)兩個(gè)村A與B供水.以河道上的大橋O為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖，以河道所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系。兩村的坐標(biāo)分別為A（2，3），B（12，7）.

（1）求出水泵站建在距離大橋O多遠(yuǎn)的地方,可使所用輸水管道最短？

（2）求出水泵站建在距離大橋O多遠(yuǎn)的地方，可使它到兩村的距離相等？

Answer 1

【答案】（1）水泵站建在距離大橋5千米的地方，可使所用輸水管道最短；（2）水泵站建在距離大橋9千米的地方，可使它到兩村的距離相等.

【解析】

（1）為了使所修水泵站的所用輸水管道最短，利用軸對(duì)稱的方法畫圖可求；

（2）所求點(diǎn)要滿足兩個(gè)條件，到張村和李村的距離相等，可以作連接兩村線段的垂直平分線，與x軸的交點(diǎn)即為所求．

(1)作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E,連接AE,則點(diǎn)E為(12,7)

設(shè)直線AE的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k≠0)，則

解得 ，

當(dāng)y=0時(shí)，x=5.

所以，水泵站建在距離大橋5千米的地方，可使所用輸水管道最短。

(2)作線段AB的垂直平分線GF，交AB于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G

設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(x,0)

在Rt△AGD中,AG=AD+DG=3+(x2)

在Rt△BCG中,BG=BC+GC=7+(12x)

∵AG=BG，

∴3+(x2) =7+(12x)

解得x=9.

所以，水泵站建在距離大橋9千米的地方，可使它到兩村的距離相等.