Question

如圖，已知在平面直角坐標系中，點A的坐標為（-2，0），點B是點A關(guān)于原點的對稱點，P是函數(shù)y=

2

x

 (x＞0)圖象上的一點，且△ABP是直角三角形．
（1）求點P的坐標；
（2）如果二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B、P三點，求這個二次函數(shù)的解析式；
（3）如果第（2）小題中求得的二次函數(shù)圖象與y軸交于點C，過該函數(shù)圖象上的點C，點P的直線與x軸交于點D，試比較∠BPD與∠BAP的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求得B點坐標，再分析△ABP滿足是直角三角形時P點的情況，可分為AB為直角邊和AB為斜邊兩種情況作答．
（2）對（1）求得的P點坐標分別討論是否滿足二次函數(shù)拋物線，求得二次函數(shù)的解析式．
（3）由點的坐標可證得△PBD∽△APD，則∠BPD與∠BAP滿足相等．

解答：解：（1）由題意，得點B的坐標為（2，0）．
設(shè)點P的坐標為（x，y），
由題意可知∠ABP=90°或∠APB=90°．
（i）當∠ABP=90°時，x=2，y=1，
∴點P坐標是（2，1）；
（ii）當∠APB=90°時，PA²+PB²=AB²，
即（x+2）²+y²+（x-2）²+y²=16①．
又由y=

2

x

，可得y²=

4

x2

，
代入①解得：x=±

2

（負值不合題意，舍去）．
當x=

2

時，y=

2

．
∴點P點坐標是（

2

，

2

）．
綜上所述，點P坐標是（2，1）或（

2

，

2

）．

（2）設(shè)所求的二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
（i）當點P的坐標為（2，1）時，點A、B、P不可能在同一個二次函數(shù)圖象上；
（ii）當點P的坐標為（

2

，

2

）時，代入A、B、P三點的坐標，
解得：

a=- 2 2 b=0 c=2 2

∴所求的二次函數(shù)解析式為y=-

2

2

x2+2

2

．

（3）∠BPD=∠BAP．
證明如下：
∵點C坐標為（0，2

2

），
∴直線PC的表達式為y=-x+2

2

．
∴點D坐標為（2

2

，0）．
∴PD=2，BD=2

2

-2，AD=2

2

+2．

PD

AD

=

2

2 2 +2

=

2

-1，
∴

BD

PD

=

PD

AD

．
∵∠PDB=∠ADP，
∴△PBD∽△APD．
∴∠BPD=∠BAP．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合應用，重點是求解函數(shù)的解析式．