Question

已知：如圖，拋物線y=x²+4x+m與x軸的負(fù)半軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），過A、C兩點(diǎn)作直線AC．
（1）直接寫出m的值及點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P是線段AC上一點(diǎn)，設(shè)△ABP、△BPC的面積分別為S₁、S₂，且S₁：S₂=2：3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）①設(shè)⊙O′的半徑為1，圓心O′在拋物線上運(yùn)動(dòng)，則在運(yùn)動(dòng)過程中是否存在⊙O′與坐標(biāo)軸相切的情況？若存在，求出圓心O’的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
②探究：設(shè)⊙O′的半徑為r，圓心O′在拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)r取何值時(shí)，⊙O′與兩坐標(biāo)軸都相切？

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，即可求得m的值和二次函數(shù)的解析式，再讓y=0，解一元二次方程，即可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）可得出直線AC的解析式，因?yàn)辄c(diǎn)P在線段AC上，設(shè)點(diǎn)P（x，x+3），S_△ABP=

1

2

AB•|x+3|，S_△BPC=S_△ABC-S_△ABP，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）①：與坐標(biāo)軸相切，則圓心在y=1，y=-1，x=-1或x=1三條直線上；②：與兩坐標(biāo)軸均相切，則圓心在y=-x或y=x上．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²+4x+m與與y軸交于點(diǎn)C（0，3），∴m=3，
∴拋物線的解析式為y=x²+4x+3，
令y=0，得x²+4x+3=0，
即得x=-1或-3，
∴A（-3，0），B（-1，0），

（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
∴

-3k+b=0 b=3

，
即得b=3，k=1，
∴直線AC的解析式為y=x+3，
∵P在線段AC上，∴設(shè)點(diǎn)P（x，x+3），
∴S₁=S_△ABP=

1

2

AB•|x+3|=|x+3|，
S₂=S_△BPC=S_△ABC-S_△ABP
=

1

2

×2×3-

1

2

AB•|x+3|
=3-|x+3|，
∵S₁：S₂=2：3，
∴|x+3|：（3-|x+3|）=2：3，
∴|x+3|=

6

5

，
解得x=-

9

5

或-

21

5

，
∵P在線段AC上，∴-3＜x＜0，
∴舍去x=-

21

5

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

9

5

，

6

5

）；

（3）①⊙O′的半徑為1，圓心在y=1上，解得x=-2±

2

；
圓心在y=-1上，解得x=-2；
圓心在x=1上，解得y=8；
圓心在x=-1上，解得y=0；
∴⊙O′的坐標(biāo)為（-2，-1），（-2+

2

，1），（-2-

2

，1），（1，8），（-1，0）；
②）⊙O′的半徑為r，與兩坐標(biāo)軸均相切，則圓心在y=-x或y=x上，
圓心在y=x上，無交點(diǎn)；
圓心在y=-x上，解得x=

-5± 13

2

，則r=

5± 13

2

，
∴當(dāng)r=

5± 13

2

時(shí)，⊙O′與兩坐標(biāo)軸都相切．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道中考?jí)狠S題，考查了拋物線解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法等知識(shí)點(diǎn)．是一道難度較大的二次函數(shù)題，需注意分類討論，全面考慮點(diǎn)O′所在位置的各種情況．難點(diǎn)在于考慮問題要全面，做到不重不漏．