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        1. (2013•南平模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,矩形ABCD如圖放置,邊AB在x軸上,點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)C坐標(biāo)為(3,m)(m>0).連接OC交AD與E,射線OD交BC延長線于F.
          (1)求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)﹔
          (2)當(dāng)x的值改變時(shí):
          ①證明﹕經(jīng)過O、E、F三點(diǎn)的拋物線的最低點(diǎn)一定為原點(diǎn)﹔
          ②設(shè)經(jīng)過O、E、F三點(diǎn)的拋物線與直線CD的交點(diǎn)為P,求PD的長﹔
          ③探究﹕△ECF能否成為等腰三角形?若能,請求出△ECF 的面積.
          分析:(1)根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)﹔
          (2)①二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,可設(shè)二次函數(shù)為y=ax2+bx,根據(jù)待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式,即可證明經(jīng)過O、E、F三點(diǎn)的拋物線的最低點(diǎn)一定為原點(diǎn)﹔
          ②根據(jù)縱坐標(biāo)相等可得方程,求得x的值,從而得到PD的長﹔
          ③根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得關(guān)于m的方程,求得m的值,再根據(jù)三角形的面積公式即可求解.
          解答:(1)解:∵點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)C坐標(biāo)為(3,m),
          ∴OA=1,OB=3,BC=AD=m,
          ∵AE∥BC,
          ∴△OAE∽△OBC,
          OA
          OB
          =
          AE
          BC
          ,即AE=
          OA•BC
          OB
          =
          m
          3
          ,
          ∴點(diǎn)E坐標(biāo)為(1,
          m
          3
          ),
          同理,得△OAD∽△OBF,
          OA
          OB
          =
          AD
          BF
          ,即BF=
          OB•AD
          OA
          =3m,
          ∴點(diǎn)F坐標(biāo)為(1,3m);

          (2)證明:∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,
          ∴設(shè)二次函數(shù)為y=ax2+bx,
          又∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過E、F,
          a+b=
          m
          3
          9a+3b=3m
          ,
          解得
          a=
          m
          3
          b=0

          ∴二次函數(shù)的解析式為y=
          m
          3
          x2,
          ∴拋物線的最低點(diǎn)一定為原點(diǎn)﹔
          ②解:∵m=
          m
          3
          x2,
          解得x=±
          3
          ,
          ∴PD的長為
          3
          -1,
          3
          +1;
          ③答:能.
          ∵∠ECF為鈍角,
          ∴僅當(dāng)EC=FC時(shí),△ECF為等腰三角形,
          由EC2=FC2,得CD2+ED2=FC2
          即22+(m-
          m
          3
          2=(3m-m)2,
          解得m=±
          3
          4
          2

          ∵m>0,
          ∴m=
          3
          4
          2

          ∴△ECF的面積=
          1
          2
          FC•CD=
          1
          2
          ×2m×2=
          3
          2
          2
          點(diǎn)評(píng):考查了二次函數(shù)綜合題,涉及的知識(shí)點(diǎn)有:平行線的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,等腰三角形的性質(zhì),三角形的面積,方程思想的運(yùn)用,綜合性較強(qiáng),有一定的難度.
          練習(xí)冊系列答案
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          1
          2
          ,
          2
          4
          3
          8
          ,
          4
          16
          ,…
          ,則這列數(shù)的20個(gè)數(shù)是( 。

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