Question

如圖1，一副直角三角板滿(mǎn)足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°∠EDF=30°，
【操作1】將三角板DEF的直角頂點(diǎn)E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，并使邊DE與邊AB交于點(diǎn)P，邊EF與邊BC于點(diǎn)Q．
在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如圖2，當(dāng)時(shí)，EP與EQ滿(mǎn)足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明．
【操作2】在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如圖3，當(dāng)時(shí)EP與EQ滿(mǎn)足怎樣的數(shù)量關(guān)系？，并說(shuō)明理由．
【總結(jié)操作】根據(jù)你以上的探究結(jié)果，試寫(xiě)出當(dāng)時(shí)，EP與EQ滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系是什么？其中m的取值范圍是什么？（直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明）m．

Answer 1

【答案】分析：（操作1）連接BE，根據(jù)已知條件得到E是AC的中點(diǎn)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以證明DE=CE，∠PBE=∠C．根據(jù)等角的余角相等可以證明∠BEP=∠CEQ．即可得到全等三角形，從而證明結(jié)論；
（操作2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M、N，根據(jù)兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等證明△MEP∽△NWQ，發(fā)現(xiàn)EP：EQ=EM：EN，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到EM：EN=AE：CE；
（總結(jié)操作）根據(jù)（2）中求解的過(guò)程，可以直接寫(xiě)出結(jié)果；要求m的取值范圍，根據(jù)交點(diǎn)的位置的限制進(jìn)行分析．
解答：（操作1）EP=EQ，
證明：連接BE，根據(jù)E是AC的中點(diǎn)和等腰直角三角形的性質(zhì)，得：BE=CE，∠PBE=∠C=45°，
∵∠BEC=∠FED=90°
∴∠BEP=∠CEQ，
在△BEP和△CEQ中
，
∴△BEP≌△CEQ（ASA），
∴EP=EQ；

如圖2，EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2，
理由是：作EM⊥AB，EN⊥BC于M，N，
∴∠EMP=∠ENC，
∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°，
∴∠MEP=∠NEF，
∴△MEP∽△NEQ，
∴EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；
如圖3，過(guò)E點(diǎn)作EM⊥AB于點(diǎn)M，作EN⊥BC于點(diǎn)N，
∵在四邊形PEQB中，∠B=∠PEQ=90°，
∴∠EPB+∠EQB=180°，
又∵∠EPB+∠MPE=180°，
∴∠MPE=∠EQN，
∴Rt△MEP∽R(shí)t△NEQ，
∴=，
Rt△AME∽R(shí)t△ENC，
∴=m=，
∴=1：m=，
EP與EQ滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系式1：m，即EQ=mEP，
∴0＜m≤2+，（因?yàn)楫?dāng)m＞2+時(shí)，EF和變成不相交）；
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，證明過(guò)程類(lèi)似．