Question

在正方形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E，作EF⊥AB交BD于點(diǎn)F，取FD的中點(diǎn)G，連接EG、CG．
（1）試猜想EG與CG之間的關(guān)系？請直接寫出你的猜想；
（2）將△BEF分別以BC和直線AB為對稱軸，經(jīng)兩次翻折后，點(diǎn)E、F分別落在直線AB與直線BD上，如圖②，則線段EG和CG又有怎樣的關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）過GH⊥AB于點(diǎn)H，延長HG交CD于點(diǎn)I，作GK⊥AD于點(diǎn)K．則四邊形GIDK是正方形，四邊形AKGH是矩形，證明Rt△HGE≌Rt△ICG，即可證得；
（2）延長FE交DC延長線于M，連MG，則四邊形BEMC是矩形，△BEF為等腰直角三角形，即可證明△GFE≌△GMC，從而證得．

解答：（1）EG=CG，且EG⊥CG．
證明：過GH⊥AB于點(diǎn)H，延長HG交CD于點(diǎn)I，作GK⊥AD于點(diǎn)K．
則四邊形GIDK是正方形，四邊形AKGH是矩形，
∴AK=HG，KD=DI=GI=AH，
∵AD=CD，
∴IC=HG，
∵AD∥GH∥EF，G是DF的中點(diǎn)，
∴HA=HE，
∴HE=GI，
∵在Rt△HGE和Rt△ICG中，

HG=IC ∠GHE=∠CIG HE=GI

，
∴Rt△HGE≌Rt△ICG（SAS），
∴EG=CG，∠HGE=∠GCI，∠HEG=∠CGI，
∴∠HGE+∠CGI=90°，
∴∠EGC=90°，
∴EG⊥CG；

（2）EG=CG，且EG⊥CG．
證明：延長FE交DC延長線于M，連MG．
∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，
∴四邊形BEMC是矩形．
∴BE=CM，∠EMC=90°，
由圖（2）可知，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=90°，
∴∠EBF=45°，
又∵EF⊥AB，
∴△BEF為等腰直角三角形
∴BE=EF，∠F=45°．
∴EF=CM．
∵∠EMC=90°，F(xiàn)G=DG
∴MG=

1

2

FD=FG．
∵BC=EM，BC=CD，
∴EM=CD．
∵EF=CM，
∴FM=DM，
又∵FG=DG，
∠CMG=

1

2

∠EMC=45°，
∴∠F=∠GMC．
則在△GFE≌△GMC中，

FG=GM ∠F=∠GMC EF=CM

∴△GFE≌△GMC（SAS）．
∴EG=CG，∠FGE=∠MGC．         
∵∠FMC=90°，MF=MD，F(xiàn)G=DG，
∴MG⊥FD，
∴∠FGE+∠EGM=90°，
∴∠MGC+∠EGM=90°，
即∠EGC=90°，
∴EG⊥CG．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確證明三角形全等是關(guān)鍵．