Question

已知點(diǎn)A（-2，4）和點(diǎn)B（1，0）都在拋物線y=mx²+2mx+n上．
（1）求拋物線的解析式，并在平面直角坐標(biāo)系中畫出此拋物線并標(biāo)出點(diǎn)A和點(diǎn)B；
（2）向右平移上述拋物線，記平移后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A′，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B′，若四邊形AA′B′B為菱形，求平移后拋物線的解析式；
（3）在（2）中平移后的拋物線與x軸交于點(diǎn)C、B′，試在直線AB′上找一點(diǎn)P，使以C、B′、P為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，并寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（2）把已知拋物線向上下左右平移后求其解析式，需將已知拋物線化成頂點(diǎn)式，根據(jù)“左加右減上加下減”的原則求出平移后的拋物線；
（3）已知兩定點(diǎn)，在限定的直線上求一點(diǎn)使它和已知兩定點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形，需分兩種情況考慮：一是這兩定點(diǎn)為等腰三角形的底，做這條線段的垂直平分線，垂直平分線與限定直線的交點(diǎn)即為所求的其中一個(gè)點(diǎn)；二是這兩定點(diǎn)為等腰三角形的腰，分別以這兩定點(diǎn)為圓心，兩定點(diǎn)確定的線段長為半徑作圓，這兩個(gè)圓與限定直線的交點(diǎn)即為所求．

解答：解：（1）根據(jù)題意得

4m-4m+n=4 m+2m+n=0

解之得

m=- 4 3 n=4

，
∴y=-

4

3

x²-

8

3

x+4．

（2）∵四邊形AA′B′B為菱形
∴AA′=B′B′=AB=5
∵y=-

4

3

x²-

8

3

x+4=-

4

3

（x+1）²+

16

3

，
∴向右平移5各單位的拋物線的解析式為y′=-

4

3

（x-4）²+

16

3

．

（3）拋物線y′=-

4

3

（x-4）²+

16

3

．
與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，分別是C（2，0）B′（6，0），B′C=4，
設(shè)直線AB′的解析式是y=kx+b

-2k+b=4 6k+b=0

解得

k=- 1 2 b=3

，
直線解析式為y=-

1

2

x+3，與y軸交于點(diǎn)M（0，3）；
①作線段BC的垂直平分線交直線AB′于點(diǎn)P₁，點(diǎn)P₁的橫坐標(biāo)為4則
y=-

1

2

×4+3=1，
∴P₁（4，1）；
②以點(diǎn)B′為圓心，B′C長為半徑作弧，交直線與點(diǎn)P₂，P₃
∵B′C=4，
∴P₂B′=4，
過點(diǎn)P₂作H₁ P₂⊥x軸
∴△P₂H₁B′∽△MOB′
∴

P2H1

MO

=

P2B′

B′M

，

P2H1

3

=

4

3 5

∴P₂H₁=

4 5

5

，
當(dāng)y=

4 5

5

時(shí)，-

1

2

x+3=

4 5

5

，
解得：x=6-

8 5

5

∴P₂（6-

8 5

5

，

4 5

5

）有對稱性可知P₃的縱坐標(biāo)為-

4 5

5

，
∴P₃（6+

8 5

5

，-

4 5

5

）；
③以點(diǎn)C為圓心，CB′長為半徑作圓，交直線AB′于點(diǎn)P₄，設(shè)P₄（m，-

1

2

m+3）
則（2-m）²+（-

m

2

+3）²=16，
解這個(gè)方程得m₁=-

2

5

，m₂=6，
∴P₄（-

2

5

，

16

5

）
滿足條件得點(diǎn)p共有4個(gè)，分別是P₁（4，1），P₂（6-

8 5

5

，

4 5

5

），P₃（6+

8 5

5

，-

4 5

5

），P₄（-

2

5

，

16

5

）．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)，一元二次方程，三角形的有關(guān)計(jì)算，這種用圓規(guī)找點(diǎn)的方法不會漏掉任何一個(gè)點(diǎn)，達(dá)到找點(diǎn)時(shí)不重不漏的要求．